Условие:
\(1.3.2.\) а. Из верхней точки окружности по гладкому желобу под углом \(\varphi\) к вертикали начинает скользить шарик. За какое время он достигнет окружности, если ее диаметр \(D\)?
б. Из точки \(A\) по спицам с разным наклоном одновременно начинают скользить без трения маленькие бусинки. На какой кривой будут находиться бусинки в момент времени \(t\)?
Решение:
a) По гладкому желобу шарик будет двигаться с ускорением, равным проекции ускорения свободного падения на направление движения, т.е.
$a = g \cdot cos{\varphi }$
Перемещение шарика представляет собой хорду окружности диаметром $D$, величина которой связана с диаметром, следующим соотношением
$r = D \cdot cos{\varphi }$
Запишем далее уравнение ускоренного движения шарика и из него найдём время движения
$${r=\frac{at^{2}}{2},\quad D\cos\varphi=\frac{g\cos\varphi}{2}t^{2},\quad t=\sqrt{\frac{2D}{g}} .}$$
$$\fbox{ $t=\sqrt{\frac{2D}{g}}$ } \; (1)$$
b) Заметим, что в выражении $(1)$ не входит значение угла, следовательно все шарики будут опускаться одновременно. И будут лежать на окружности радиуса $r = g t^2/2$, как показано на анимации