\(1.3.8.\) Из миномета ведут стрельбу по объектам, расположенным на склоне горы. На каком расстоянии от миномета будут падать мины, если их начальная скорость \(v\), угол наклона горы \(\alpha\) и угол стрельбы по отношению к горизонту \(\beta\)?
Уравнения движения снаряда могут быть записаны следующим образом:
${x}={v}_{0}{t}\cos{\beta}$
$${y}={v}_{0}{t}\sin{\beta}-\frac{{g}{t}^{2}}{2}$$
Подставим в уравнения координаты цели $x = L; \;y = L \tan \alpha$
${L=v_{0}t\cos\beta}$
$$Ltg\alpha=v_{0}t\sin\beta-\frac{gt^{2}}{2}$$
Выразим из первого уравнения последней системы уравнений время и подставим его значение во второе уравнение
$${t=\frac{L}{v_{0}\cos\beta}}$$
$${Ltg\alpha=v_{0}\frac{L}{v_{0}\cos\beta}sin\beta-\frac{g}{2}\frac{L^{2}}{v_{0}^{2}\cos^{2}\beta} }$$
Откуда
$${v}_{0}=\sqrt{\frac{{gL}\cos\alpha}{2\cos\beta\sin(\beta-\alpha)}}$$
Выражаем $L$,
$$L = \frac{ 2\cos\beta\sin(\beta-\alpha)\cdot v^2_0}{g\cos\alpha}$$
И находим дальность полета вдоль стенки:
$$l = \frac{L}{\cos \alpha} $$
$$\fbox{$l = \frac{ 2v^2_0}{g} \frac{ \cos\beta\sin(\beta-\alpha)}{\cos^2\alpha}$}$$