$2.2.25^*.$ Космическая станция состоит из двух отсеков массы $m_1$ и $m_2$, соединенных длинным однородным тросом длины $L$. Станция вращается вокруг оси, перпендикулярной тросу. Какова угловая скорость вращения, если сила натяжения троса вблизи первого отсека равна $T_1$, а вблизи второго — $T_2$? Какова масса троса?
Cила натяжения сообщает спутникам центростремительно ускорение $$\omega^2 rm_1 = T_1$$ $$\omega^2 (L-r)m_2 = T_2$$ Где $r$ — расстояние от m_1 до центра масс системы $$r = \frac{T_1}{\omega^2 m_1}$$ $$\omega^2 Lm_2-T_1\frac{m_2}{m_1} = T_2$$ Откуда находим $\omega$ $$\boxed{\omega=\sqrt{\frac{m_2T_1+m_1T_2}{Lm_1m_2}}}$$ При этом расстояние, на котором центр масс будет находится от первого отсека $$r = L \frac{T_1m_2}{m_2T_1+m_1T_2}$$ Далее, воспользуемся формулой для центра масс, чтобы найти массу тросса $m$ $$r = \frac{m_1 \cdot 0 + m \cdot \frac{L}{2} + m_2 \cdot L}{m_1+m_2+m}$$ $$L \frac{T_1m_2}{m_2T_1+m_1T_2} = L \frac{m + 2m_2}{2(m_1+m_2+m)}$$ Откуда выражаем массу тросса $m$ $$\boxed{m=\frac{2m_1m_2(T_1-T_2)}{m_1T_2-m_2T_1}}$$
$$\omega=\sqrt{\frac{m_2T_1+m_1T_2}{Lm_1m_2}}$$ $$m=\frac{2m_1m_2(T_1-T_2)}{m_1T_2-m_2T_1}$$