$1.3.13^{*}.$ Снаряд, вылетев из орудия, попал в точку с координатами $x$ по горизонтали и $y$ по вертикали. Начальная скорость снаряда $v$. Найдите:
а) тангенс угла, образуемого стволом орудия с горизонтом;
б) границу области возможного попадания снаряда;
в) наименьшую начальную скорость снаряда, при которой он может попасть в точку с координатами $x, \,y$.
Указание. При решении воспользуйтесь тригонометрическим тождеством $1/ \cos^2 \varphi = \tan^2 \varphi + 1$
а) Воспользуемся формулой для траектории полета, полученной в 1.3.6:
$$y(x) = x \tan\varphi-\frac{gx^2}{2v^2\cos^2 \varphi}$$
Воспользуемся подсказкой,
$$y(x) = x \tan\varphi-\frac{gx^2}{2v^2}(1+\tan^2 \varphi)\quad(1)$$
Откуда выражаем угол $ \varphi$:
$$\tan\varphi=\frac{v^2\pm\sqrt{v^4-2gv^2y-g^2x^2}}{gx}$$
б) Изобразим множество траекторий, меняя угол $\varphi$ от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$:
Проанализировав область определения функции $(1)$, подчеркнем, что подкоренное выражение не отрицательное
$v^4-2gv^2y-g^2x^2 \geq 0$
$$y \leq \frac{v^2}{2g}-\frac{gx^2}{2v^2}$$
в) Из $(1)$, получаем:
$$v_{x}v_{y}x-\frac{1}{2}gx^{2}=v_{x}^{2}y$$
Воспользуемся формулой для горизонтальной и вертикальной координат, полученной в 1.3.6:
$$y(t) = vt \cdot \sin{\varphi} - \frac{gt^2}{2}$$
$x(t) = vt \cdot \cos{\varphi}$
Пусть $\xi =\cos{\varphi}$,
$v_y = v \xi$
$v_x = v \sqrt{1-\xi^2}$
Получаем функцию
$$v(\xi )=\frac{\sqrt{g}x}{\sqrt{2 \xi\sqrt{1-\xi^{2}}x-\xi^{2}y}} \quad(2)$$
Максимум подкоренного значения соответсвует минимуму функции (2)
$(\sqrt{x^{2}+y^{2}-y})/2 \rightarrow \max$
Минимум функции $(2)$
$$\fbox{$v^{2}=\frac{gx}{\sqrt{1+(\frac{y}{x})^{2}}-\frac{y}{x}}$}$$
a) $\tan\varphi=\frac{v^2\pm\sqrt{v^4-2gv^2y-g^2x^2}}{gx}.$
б) $y=\frac{v^2}{2g}-\frac{gx^2}{2v^2}$
в) $v_{\text{мин}}=\sqrt{g(y+\sqrt{x^2+y^2})}$