$1.3.27^*.$ Сферический резервуар, стоящий на земле, имеет радиус $R$. При какой наименьшей скорости брошенный с земли камень может перелететь через резервуар, лишь коснувшись его вершины?
Камень нужно бросать под углом $\alpha$ к горизонту, удовлетворяя уравнениям, полученным в 1.3.6:
$v_x = v \cos\alpha ; \quad v_y = v \sin\alpha - gt;$ $x = vt \cos\alpha ; \quad y = vt \sin\alpha - gt^2 / 2.$
Время, за которая камень поднимиться на максимальную высоту $2R$, найдем как
$$t_1 = \frac{v_0 \sin\alpha}{g}$$
Максимальная высота подъема камня по вертикальной оси должна быть равна $y_{max} = 2R$, поэтому
$$\frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g} = 2R$$
Определяем значение начальной скорости броска
$$v_0 = \sqrt{\frac{4gR}{\sin^2 \alpha}}$$
Угол $\alpha$, под которым следует бросать камень, определим из начальных условий
$$v_0t_1 \cos\alpha = \frac{v_0^2 \sin\alpha\cos\alpha}{g};$$ $$2R = \frac{v_0^2 \sin\alpha\cos\alpha}{g};$$ $\tan\alpha = 2; \quad \alpha = \text{\arctan } \;2 \approx 63^\circ$
Подставляя в формулу для $v_0$
$$\fbox{$v_0 = \sqrt{\frac{4gR}{\sin^2 63^\circ}} = \sqrt{5Rg}$}$$