$1.4.12.$ Тело влетает горизонтально со скоростью $v$ в пространство между двумя вертикальными стенками, которые перемещаются со скоростью $u$. Определите скорость тела после $n$-го удара о переднюю стенку. Расстояние между стенками $L$. Удары абсолютно упругие.
Рассмотрим, как изменяется скорость $v_x$ вдоль горизонтальной оси $Ox$
Когда тело летит на правую стенку, $v_x = v$. Далее, после упругого соударения скорость меняется на $v_x = v - 2u$. Более подробно почему происходит именно так см. 1.4.9.
Аналогично, после соударения о левую стенку $v_x$ станет равной
$v_x = (v - 2u) + 2u = v$
Таким образом, всегда после соударения о правую стенку, скорость $v_x$ будет равна $v - 2u$
$v_x = v - 2u$
А время между $n$ и $n-1$ соударением
$$t_n - t_{n-1} = \frac{L}{v - 2u} + \frac{L}{v}$$
$$t_n - t_{n-1} = L \frac{2(v-u)}{v(v-2u)}$$
Т.к. в вертикальной плоскости соударения отсутсвуют, то скорость $v_y$ зависит от времени $t$ как
$v_y = gt$
А в общем случае:
$v_y = g(2n-1)(t_n - t_{n-1})$
$$\fbox{$v_y = (2n − 1)g L \frac{2(v-u)}{v(v-2u)}$}$$
Проекция скорости на горизонтальное направление $v_x = v −2u$; проекция скорости на вертикальное направление $v_y = (2n − 1)g L \frac{2(v-u)}{v(v-2u)}$.