Специальная теория относительности > Закон сохранения массы и импульса > Задача 14.5.16

Условие

14.5.16. Быстрые протоны сталкиваются с неподвижными протонами. При какой кинетической энергии быстрых протонов могут рождаться

$1.$ $\pi^0$-мезоны: $p + p \to p + p + \pi^0 $?

$2.$ $\psi$-мезоны: $p + p \to p + p + \psi $?

$3.$ Протон-мезонные пары: $p + p \to p + p + (\bar{p} + p)$?

Решение

Следуя за автором, будем обозначать полную энергию буквой $E$, кинетическую - $\mathcal{E}$

В пороговом режиме все рождённые частицы покоятся друг относительно друга, то есть в системе центра масс их суммарная энергия минимальна и равна сумме масс покоя, а импульс равен нулю. Найдём пороговые энергии для трёх случаев, ответом естественно будут все энергии не меньшие пороговой

$\textbf{1.}$
Такие задачи обычно решаются так: записывается инвариант для всей системы до и после рождения пары. Далее, чтобы не решать сложные уравнения относительно скорости быстрой частицы, удобно записать инвариант отдельно для быстрой частицы, чтобы выразить её импульс.
$$
I_1=(E_1+m_pc^2)^2-p_1^2c^2=(2m_pc+m_{\pi^0}^2c)^2\tag{1}
$$
$$
(m_pc^2)^2=E_1^2-p_1^2c^2\tag{2}
$$
$$
E_1=\mathcal{E}_1+m_pc^2\tag{3}
$$
Решим эту систему:

$$
2E_1m_pc^2=с^4((2m_p+m_{\pi^0})^2-2m_p^2)
$$
$$
E_1=с^2\frac{(2m_p+m_{\pi^0})^2-2m_p^2}{2m_p}
$$
$$
\mathcal{E}_1=E_1-m_pc^2=с^2\frac{(2m_p+m_{\pi^0})^2-4m_p^2}{2m_p}=с^2\frac{(2m_p+m_{\pi^0})^2-4m_p^2}{2m_p}
$$
$$
\mathcal{E}_1=m_{\pi^0}c^2 \frac{m_{\pi^0}+4m_p}{2m_p}\tag{4}
$$
$\textbf{2.}$
Случаи $1$ и $2$ отличаются только массой мезонов, поэтому ответ будет таким же с поправкой на эту массу:
$$
\mathcal{E}_2=m_{\psi}c^2 \frac{m_{\psi}+4m_p}{2m_p}\tag{5}
$$
$\textbf{3.}$
Тут полностью аналогично:
$$
I_3=(E_3+m_pc^2)^2-p_3^2c^2=(4m_pc^2)^2\tag{6}
$$
$$
(m_pc)^2=\frac{E_3^2}{c^2}-p_3^2\tag{7}
$$
$(7)\to(6)$
$$
\frac{(E_3+m_pc^2)^2}{c^2}-\frac{E_3^2}{c^2}=(4m_pc)^2-(m_pc)^2
$$
$$
2E_3m_p=с^2((4m_p)^2-2m_p^2)
$$
$$
E_3=7m_pс^2\quad \to\quad \mathcal{E}_3=6 m_p c^2
$$
$No:$
У Савченко с ответе опечатка

Ответ

$$
\mathcal{E}_1\geqslant m_{\pi^0}c^2 \frac{m_{\pi^0}+4m_p}{2m_p}
$$
$$
\mathcal{E}_2\geqslant m_{\psi}c^2 \frac{m_{\psi}+4m_p}{2m_p}
$$
$$
\mathcal{E}_3\geqslant 6 m_p c^2
$$