Специальная теория относительности > Закон сохранения массы и импульса > Задача 14.5.20

Условие

$14.5.20.$ Определите минимальную и максимальную энергии нейтрино, образующихся при распаде $\pi^0$-мезона с энергией $6 \ ГэВ$:
$$
\pi^0\to\mu^+ + e^- + \nu
$$

Решение

Нейтрино - безмассовая частица, поэтому для нее $E_{\nu}=p_{\nu}c$

Энергия $\pi^0$-мезона намного больше его энергии покоя, значит суммарный импульс системы ненулевой. Тогда инвариант:
$$
I=(m_{\pi^0}c)^2=\frac{E^2}{c^2}-p_{\pi^0}^2\quad\to\quad p_{\pi^0}=\sqrt{\frac{E^2}{c^2}-(m_{\pi^0}c)^2}\tag{1}
$$
Очевидно, что наибольшей энергия нейтрино соответствует ситуация, когда эта частица приобретает максимальный импульс. Это достигается, когда нейтрино в лабораторной системе получает импульс вдоль направления движения $\pi^0$-мезона, а остальные частицы движутся в противоположном направлении с одинаковой скоростью. Заметьте, что электрон и антимюон можно рассматривать как одни частицу с эффективной массой $m_{\mu}+m_e$. Доказать это можете сами, тем более похожие идеи используются в других задачах раздела
$$
p=\frac{E_{max}}{c}=p_{\mu e}+p_{\pi^0}\quad\to\quad p_{\mu e}^2=\left(\frac{E_{max}}{c}-p_{\pi^0}\right)^2\tag{2}
$$
$$
E=E_{max}+E_{\mu e} \quad\to\quad E_{\mu e}^2=(E-E_{max})^2\tag{3}
$$
Теперь инвариант:
$$
(m_{\mu}+m_e)^2c^2=\frac{E_{\mu e}^2}{c^2}-p_{\mu e}^2\tag{4}
$$
$(2), \ (3)\to(4)$
$$
(m_{\mu}+m_e)^2c^2=\frac{(E-E_{max})^2}{c^2}-\left(\frac{E_{max}}{c}-p_{\pi^0}\right)^2
$$
$$
(m_{\mu}+m_e)^2c^4=E^2-2E_{max}\left(E-p_{\pi^0}с\right)-p_{\pi^0}^2c^2\tag{5}
$$
$(1)\to(5)$
$$
(m_{\mu}+m_e)^2c^4=E^2-2E_{max}\left(E-p_{\pi^0}с\right)-E^2+m_{\pi^0}^2c^4
$$
$$
2E_{max}\left(E-\sqrt{E^2-m_{\pi^0}^2c^4}\right)=m_{\pi^0}^2c^4-(m_{\mu}+m_e)^2c^4
$$
$$
2E_{max}\left(E-\sqrt{E^2-m_{\pi^0}^2c^4}\right)=m_{\pi^0}^2c^4-(m_{\mu}+m_e)^2c^4
$$
$$
E_{max}=\frac{m_{\pi^0}^2c^4}{2}\frac{1-\frac{(m_{\mu}+m_e)^2}{m_{\pi^0}^2}}{E-\sqrt{E^2-m_{\pi^0}^2c^4}}
$$
Домножим на $E+\sqrt{E^2-m_{\pi^0}^2c^4}$
$$
E_{max}=\frac{m_{\pi^0}^2c^4}{2}\frac{1-\frac{(m_{\mu}+m_e)^2}{m_{\pi^0}^2}}{m_{\pi^0}^2c^4}\left(E+\sqrt{E^2-m_{\pi^0}^2c^4}\right)
$$
$$
E_{max}=\frac{E}{2}\left[1-\frac{(m_{\mu}+m_e)^2}{m_{\pi^0}^2}\right]\left[1+\sqrt{1-\left(\frac{m_{\pi^0}c^2}{E}\right)^2}\right]\approx 2.3 ГэВ
$$
Минимальная энергия, очевидно, стремится к нулю: нетрудно показать, что распад с точки зрения ЗСЭ и ЗСИ возможен и без вклада нейтрино. А учитывая, что по современным представлениям эта частица всё-таки обладает некоторой массой покоя, эта энергия может быть строго равна нулю.

$No:$ У Савченко в ответе ошибка, он забыл разделить на 2

Ответ

$$
E_{max}=\frac{E}{2}\left[1-\frac{(m_{\mu}+m_e)^2}{m_{\pi^0}^2}\right]\left[1+\sqrt{1-\left(\frac{m_{\pi^0}c^2}{E}\right)^2}\right]\approx 2.3 ГэВ
$$
$$
E_{min}=0
$$