$2.1.63.$ Горизонтальный диск начинают раскручивать вокруг его оси с линейно возрастающей во времени угловой скоростью $\omega = \varepsilon t$. При какой угловой скорости тело, расположенное на расстоянии $r$ от оси диска, начнет соскальзывать с него, если коэффициент трения между ними равен $\mu$?
Из-за того, что угловая скорость меняется, помимо центростремительной скорости $a_{н}$ будет также присутствовать тангенциальное ускорение $a_\tau$
По теореме Пифагора найдем общее ускорение $\vec{a}$ $$a = \sqrt{a_n^2+a_\tau^2}$$ $$a = \sqrt{(\omega^2 R)^2+(\varepsilon R)^2}$$ $$a = \varepsilon R \sqrt{1 + \varepsilon ^2 R^4}$$ Второй закон Ньютона запишем как $$ma = F_{тр}$$ $$ma = \mu mg$$ $$\varepsilon R \sqrt{1 + \varepsilon ^2 R^4} = \mu g$$ Это равенство выполниться при $$t = \sqrt{\frac{\mu^2 g^2}{\beta^4 R^2} - \frac{1}{\beta^2}}$$ Откуда находим $\omega$ $$\boxed{\omega = \sqrt[4]{\frac{\mu^2 g^2}{R ^2} − \varepsilon ^2)}}$$ При этом, если $\varepsilon > \mu g/R$, то $a_\tau$ будет настолько большим, что сила трения покоя будет моментально переходить в силу трения скольжения, даже когда $a_n = 0$
$\omega_1 = 0$ при $\varepsilon > \mu g/R;$
$\omega_1 = {(\mu^2 g^2 / R^2 − \varepsilon ^2)}^{1/4}$ при $\varepsilon < \mu g/R$