$2.2.29^*.$ Обезьяна массы $m$ уравновешена противовесом на блоке $A$. Блок $A$ уравновешен грузом массы $2m$ на блоке $B$. Система неподвижна. Как будет двигаться груз, если обезьяна начнет равномерно выбирать веревку со скоростью $u$ относительно себя? Массой блоков и трением пренебречь.
Второй закон Ньютона для оси y: $$ \begin{cases} 2T - 2mg = 2ma_{1y} \\ T - mg = ma_{2y} \\ T - mg = ma_{3y} \end{cases} $$ Из этих трех уравнений следует, что: $$ a_1 = a_{2y} = a_{3y}$$ $$\quad \int_0^{v_{1y}} dv_{1y} = \int_0^{v_{2y}} dv_{2y} = \int_0^{v_{3y}} dv_{3y}$$ $$v_{1y} = v_{2y} = v_{3y} $$ Длины двух веревок: $$ \begin{cases} L_1 = 2y_b - y_1 - y_a \\ L_2 = 2y_A - y_2 - y_k \end{cases} $$ Взяв производную от длины каната по времени, мы получим эти зависимости: $$ \begin{cases} 0 = 2v_{by} - v_{1y} - v_{Ay} \\ 0 = 2v_{Ay} - v_{2y} - v_{ky} \end{cases} $$ Из формулы сложения скоростей: $$ \vec{v} = \vec{v}^\prime + \vec{u}$$ Из условия задачи $$v_{ky} = v_{3y} + u_y$$
В конечном счете: $$ v_{1y} = -v_Ay \quad (v_{by} = 0)$$ $$ 2v_{1y} + v_{2y} + v_{ky} = 0$$ $$ 2v_{1y} + v_{2y} + v_{3y} + u_y = 0 $$ $$ 4v_{1y} = -u_y$$ $$ v_{1y} = -\frac{u_y}{4} $$
Со скоростью $u/4$ вверх
Решение через импульс.
Сначала разбираемся со скоростью обезьяны относительно блока $ A $: т.к. массы одинаковы, то из симметрии следует, что скорости груза $ m $ и обезьяны равны, т.е. они равны $ v/2 $. На самом деле это верно только в том случае, если обезьяна начала ползти из положения равновесия, что, видимо, подразумевается в задаче.
Пусть теперь скорость груза $ 2m $ равна $ v $ и направлена вверх. Тогда скорость точки $ A $ относительно потолка равна $ v $ и направлена вниз, и скорости обезьяны и груза $ m $ относительно потолка равны $ v/2 - v $. Т.к. силы, действующие на блок $ A $ и груз $ 2m $ одинаковы, то и изменение импульса с двух сторон блока в одно и то же, следовательно $$ 2m \cdot v = 2 \left[ \frac{m(v/2 - v)}{2} \right], $$ откуда получаем $ v = \frac{4}{3} g $.
Вторую часть задачи можно провести по-другому. Заметим, что центр масс системы "обезьяна-блок A-груз 2m" движется вверх со скоростью $ v/2 $. Фактически, заменив эту систему воображаемой обезьяной массы $ 2m $, ползущей вверх со скоростью $ v/2 $ мы сведём задачу к первой части. Из этого, повторяя рассуждения о симметрии, получим сразу ответ $ v = \frac{4}{3} g $.