$2.2.3.$ Космический корабль должен, изменив курс, двигаться с прежним по модулю импульсом $р$ под углом $\alpha$ к первоначальному направлению. На какое наименьшее время нужно включить двигатель с силой тяги $F$ и как при этом нужно ориентировать ось двигателя?
При включении двигателя с силой тяги $F$ на время $\Delta t$, импульс корабля будет равен
$\vec{p_1} = \vec{p} + \vec{\Delta p}$, (1)
где $\vec{\Delta p} = \vec{F} \cdot \Delta t$. (2)
Выберем направление оси $x$ и спроецируем уравнение (2)
$\Delta p = F \cdot \Delta t$. (3)
С другой стороны, из уравнения (1) в проекции на ось $x$
$\Delta p =2p \cdot\sin\frac{\alpha}{2}$ (рис.). (4)
Приравняем правые части уравнений (3) и (4)
$F \cdot \Delta t = 2p \cdot\sin\frac{\alpha}{2}$.
Откуда искомое время включения двигателя $$\Delta t = \frac{2p \cdot\sin\frac{\alpha}{2}}{F}$$
Ось двигателя нужно ориентировать к первоначальному направлению под углом
$$\beta = \frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2}$ $
Нужно добавить импульс
$$p_2\sqrt{2+2\cos\alpha} = 2p\sin(\frac{\alpha}{2})$$
Тогда время $$\Delta t = \frac{p_2}{F}=\frac{2p}{F}\sin(\frac{\alpha}{2})$$
Угол между начальной скоростью и силой $F$ будет равен углу р/б треугольника с углом при вершине:
$$\frac{1}{2}(\pi - \alpha )$$
Двигатель ориентирован в обратном силе направлении, значит
$$\beta = \pi - \frac{1}{2}(\pi - \alpha ) = \frac{1}{2}(\pi + \alpha )$$
$$\Delta t = \frac{2p \cdot\sin\frac{\alpha}{2}}{F}$$ $$\beta = \frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2}$$