$2.2.5^*.$ Ящик с песком массы $M$ лежит на горизонтальной плоскости, коэффициент трения с которой равен $\mu$. Под углом $\alpha$ к вертикали в ящик со скоростью $v$ влетает пуля массы $m$ и почти мгновенно застревает в песке. Через какое время после попадания пули в ящик, он, начав двигаться, остановится? При каком значении $\alpha$ он вообще не сдвинется?
Пусть время остановки пули равно $dt$, тогда, чтобы остановить, ящик может двигаться только по горизонтали, значит в момент попадания и пули гаситься вертикальная проекция импульса силой реакции опоры (песка) $N_1$, тогда $$N_1dt = mv\cos\alpha\Rightarrow N_1 = \frac{mv\cos\alpha}{dt}$$ Распишем силу трения в этот момент: $$F_{\text{тр}} \leq \mu N = \mu ((M+m)g + N_1) = \mu (M+m)g + \mu\frac{mv\cos\alpha}{dt}$$ Так как $dt$ бесконечно малая величина, то $$N_1 \gg (M+m)g \Rightarrow F_{\text{тр}} \leq \mu\frac{mv\cos\alpha}{dt}$$ Теперь запишем изменение импульса ящика с песком за $dt$ $$\Delta p = F_{\text{тр}}dt \leq \mu mv \cos\alpha$$ ($F_{\text{тр}}$ и $\Delta p$ не достегают наибольшего значения только в ситуации, когда ящик продолжает покоиться) В момент соударения ящик с пулей приобретают импульс: $$p_1 = mv\sin\alpha$$ (горизонтальная проекция импульса пули)
Для того, чтобы сдвинуть ящик, нужно, чтобы $$p_1 > \Delta p$$ $$mv\sin\alpha > \mu mv\cos\alpha$$ таким образом мы получили условие движения ящика $\tan\alpha > \mu$. После соударения, во время движения ящика, на него будет действовать сила трения $$F_{\text{тр}}= \mu (M+m)g$$ Эта сила уменьшает полученный ящиком импульс $p_1 - \Delta p$ , тогда справедливо: $$F_{\text{тр}}t = p_1 - \Delta p $$ $$ t = \frac{p_1 - \Delta p}{F_{\text{тр}}}$$ $$ \boxed{t = \frac{mv(\sin\alpha - \mu\cos\alpha )}{\mu (M+m)g}}$$
$t = mv(\sin\alpha − \mu\cos\alpha )/[\mu (m + M)g]$ при $\tan\alpha > \mu$
при $\tan\alpha\leq \mu$ ящик не сдвинется