$3.1.16.$ Определите, в каких пределах меняется сила натяжения нити математического маятника, амплитуда колебаний которого $x_0$ много меньше длины нити $l$, если масса маятника $m$.
Сила натяжения нити найдём как $$T_\text{min}=mg\cos\varphi$$ Воспользуем приближением, при $\varphi\ll1$, $\cos\varphi=1-\frac{\varphi^2}{2}\quad(1)$: $$mg\cos\varphi \approx mg\left(1-\frac{\varphi^2}{2}\right)$$ $$\boxed{T_\text{min} =mg\left(1-\frac{x_0^2}{2l^2}\right)}$$ Запишем второй закон Ньютона $$ma=T_\text{max}-mg$$ $$T_\text{max}=m\left(\frac{\upsilon^2}{l}+g\right)$$ Также, запишем закон сохранения энергии $$mgl(1-\cos\varphi)=\frac{m\upsilon^2}{2}$$ $$\upsilon^2=2gl(1-\cos\varphi)$$ Учитывая приближение $(1)$ $$v^2\approx gl\varphi^2=\frac{gx_0^2}{l}$$ Подставим данное выражение для скорости в выражение для $T_\text{max}$: $$\boxed{T_\text{max}=mg\left(1+\frac{x_0^2}{l^2}\right)}$$
$$mg\left(1-\frac{x_0^2}{2l^2}\right) < T < mg\left(1+\frac{x_0^2}{l^2}\right)$$