$3.1.2.$ Груз массы $m$ подвешен на пружине жесткости $k$. Как зависит суммарная сила, действующая на груз, от смещения его на $x$ из положения равновесия? Найдите зависимость потенциальной энергии груза от смещения $x$.
Единственная внешняя сила кроме силы упругости пружины $$\boxed{F=-kx}$$ Найдём изменение энергии при перемещении пружины на $dx$ $$dU=Fdx=kxdx$$ После интегрирования $dU$ от $0$ до $U$ $$U=\int_{0}^{U}dU=k\int_{0}^{x}xdx=\fbox{$\frac{kx^2}{2}$}$$
$$F=-kx;~U=\frac{kx^2}{2}$$