$3.1.3.$ а. Тело массы $m$, подвешенное на пружине, совершает колебания так, что наибольшее значение скорости равно $v_0$, а наибольшее отклонение от положения равновесия равно $x_0$. Определите жесткость пружины. б. Скорость тела массы $m$, подвешенного на пружине и совершающего колебания, зависит от координаты тела $x$ по закону $v = v_0\sqrt{1-(x/x_0)^2}$. Найдите зависимость силы, действующей на тело, и потенциальной энергии этого тела от координаты $x$. Зависит ли полученный результат от природы силы, заставляющей тело двигаться по приведенному закону?
Т.к. колебания являются гармоническими, то наибольшую скорость $v_0$ можно найти через наибольшее отклонение от положения равновесия $x_0$. Для этого возьмем производную от решения уравнения гармонических колебаний $$v=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\left(x_0\sin\omega t\right)=x_0\omega\cos\omega t$$ Откуда следует, что наибольшая скорость $v_0$ равна $$v_0=x_0\omega$$ Подставляя ранее полученное из 3.1.2 значение для цикловой частоты $\omega$ пружинного маятника $\left(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\right)$ $$v_0=x_0\sqrt{\frac{k}{m}}\Rightarrow\boxed{k=\frac{v_0^2m}{x_0^2}}$$ б) Возвращающей силой в данных гармонических колебаниях будет являться сила упругости пружины $F=-kx$, т.к в любом случае в обычном пружинном маятнике возвращающая сила равна силе упругости пружины. Тогда работу этой силы найдём как в 3.1.2: $$\boxed{U=\frac{kx^2}{2}}$$
a. $k=mv_0^2/x_0^2$
б. $F=-kx, ~U=kx^2/2, ~k=m(v_0/x_0)^2$
Нет, не зависит.