$3.2.17.$ Космический корабль вращается вокруг своей оси с угловой скоростью $\omega .$ Как зависит период колебаний маятника длины $l$ от расстояния $R$ точки подвеса до оси вращения? Плоскость колебаний проходит через ось вращения.
При вращении по дуге окружности радиуса $l$, на шар действует центростремительное ускорение $$a = \omega^2(R+l)$$ Второй закон Ньютона для шарика: $$m\ddot{x}(t)=-m\omega^2(R+l)\sin\varphi$$ Пренебрегая гравитационным взаимодействием с Землёй, записываем второй закон Ньютона $$m\ddot{x}(t)+m\omega^2(R+l)\sin\varphi=0\quad(1)$$ Воспользуемся приближением для маллых углов $(\varphi \ll 1)$: $$\sin\varphi\approx\varphi=\frac{x}{l}$$ Воспользовавшись приближением для $(1)$, получаем уравнение гармонических колебаний $$\ddot{x}(t)+\frac{\omega^2(R+l)}{l}x(t)=0$$ Решаем уравнение гармонических колебаний вида $\ddot{x}+\omega^2x(t)=0$, стандартным методом и получаем искомый период колебаний $$\boxed{T=\frac{2\pi}{\omega}\sqrt{\frac{l}{R+l}}}$$
$$T=\frac{2\pi}{\omega}\sqrt{\frac{l}{R+l}}$$