$3.3.19.$ Пуля массы $m$, летящая со скоростью $v$, попадает в тело массы $M$, связанное со стенкой пружиной жесткости $k$, и застревает в нем. Выбрав момент попадания пули за начало отсчета времени, найдите зависимость скорости и координаты тела от времени.
Пуля массой $m$ летит со скоростью $m$ в брусок массой $M$ и застревает в нём
Скорость которую приобретает система "Брусок-пуля" найдём из закона сохранения импульса $$mv = (m+M)u$$ $$u_0 = v \frac{m}{m+M}$$ После соударения скорость меняется гармонически по закону $$u(t)=u_0 \cos\omega t \quad \text{(1)}$$ Где цикловую частоту $\omega$ пружинного маятника массой $m+M$ найдём как $$\omega = \frac{k}{m+M}$$ Подставляем в $(1)$ $$\boxed{u(t)=v\frac{m}{m+M}\cos\sqrt{\frac{k}{m+M}}t} \quad (2)$$ Координату найдем интегрируя $(1)$ $$x(t)= u_0 \int \cos (\omega t) dt$$ $$x(t)=\frac{u_0}{\omega} \sin\omega t$$ $$\boxed{x=\frac{mv}{\sqrt{k(M+m)}}\sin\sqrt{\frac{k}{m+M}}t}$$
$$v=\frac{mv}{m+M}\cos\sqrt{\frac{k}{m+M}}t$$ $$x=\frac{mv}{\sqrt{k(M+m)}}\sin\sqrt{\frac{k}{m+M}}t$$