$9.2.16.$ Определите индукцию магнитного поля на оси контура, магнитный момент которого $M$, на больших расстояниях $h$ в случаях, когда контур представляет собой окружность, квадрат, правильный треугольник.
Для круга магнитный момент $$M = \pi IR^2$$ Магнитное поле на оси кольца (см. 9.2.10) $$B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2+h^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 M}{2\pi (R^2 + h^2)^{3/2}} \approx \frac{\mu_0 M}{2\pi h^3}$$ Для больших расстояний форма контура, очевидно, не важна, тогда $$B = \frac{\mu_0 M}{2\pi h^3}$$ Для неверующих докажем это, пусть у нас есть правильный $n$ угольник, описанный около окружности радиуса $r$, сторона многоугольника $a$, его магнитный момент $$M = \frac{1}{2}narI$$ Найдём проекцию индукции стороны на ось: $$B_i = \int dB = \int\limits_0^a\frac{\mu_0 I dx}{4\pi (h^2+r^2)} \cdot \frac{r}{\sqrt{h^2+r^2}}$$ $$B_i = \frac{\mu_0 Ir}{4\pi}\int\limits_0^a \frac{dx}{(h^2 + r^2)^{3/2}}$$ в приближение $r\ll h$ получим $$B_i \approx \frac{\mu_0 Ir}{4\pi}\int\limits_0^a \frac{dx}{h^3} = \frac{\mu_0 Ira}{4\pi h^3}$$ Просуммируем $B_i$, получим: $$B = \frac{\mu_0 Iran}{4\pi h^3} = \frac{\mu_0 2M}{4\pi h^3} \Rightarrow \boxed{B= \frac{\mu_0 M}{2\pi h^3}}$$ А вы не верили!
$$B = \frac{\mu_0 M}{2\pi h^3}$$