Постоянное магнитное поле > Магнитное поле тока распределенного по поверхности или пространству > Задача 9.3.21

Условие

$9.3.21.$ Определите индукцию магнитного поля в длинной цилиндрической
полости, расположенной внутри цилиндрического проводника, если ось полости
параллельна оси проводника и отстоит от нее на расстоянии $d$. Ток распределен
равномерно по сечению проводника. Плотность тока $j$.

Решение

В прошлых задачах мы вывели формулу для индукции на расстоянии от оси внутри цилиндрического провода:
$$B = \frac{\mu_0 j x}{2}$$
Однако, мы не упоминали одно замечательное свойство этой формулы, ввиду того что индукция направлена по касательной к круговым контурам вдоль оси, математически это можно переписать в векторной форме:
$$\hat{B} = \frac{\mu_0[\hat{j}\times \hat{x}]}{2}$$

Используем не менее замечательное свойство векторного произведения:
$$(\hat{a}+\hat{b})\times \hat{c} = \hat{a}\times \hat{c} + \hat{b} \times \hat{c}$$
Возьмем точку на расстоянии x от оси полости, в векторной форме от оси провода она находится на векторе $\hat{r}=\hat{d}+\hat{x}$. Поле от провода с полостью представим как разницу полей малого и большого цилиндра в векторной форме, с учетом свойств векторного произведения получим:
$$\hat{B} = \hat{B} = \frac{\mu_0[\hat{j}\times \hat{d}]}{2}+\frac{\mu_0[\hat{j}\times \hat{x}]}{2} - \frac{\mu_0[\hat{j}\times \hat{x}]}{2}$$
$$B = \frac{\mu_0 j d}{2}$$

Ответ

$$B = \frac{\mu_0 j d}{2}$$