При решении сложных физических задач стандартный путь «в лоб» часто приводит к громоздким вычислениям, длинным системам уравнений и высокой вероятности ошибиться. Опытные олимпиадники действуют иначе: они ищут инварианты - величины, свойства или соотношения, которые не изменяются в ходе процесса. Умение увидеть инвариант часто превращает решение на две страницы в решение на две строки. Именно поэтому поиск инвариантов - один из самых мощных инструментов в олимпиадной физике.

Что такое инвариант?

Инвариант - это величина, свойство или соотношение, которое остается неизменным при определённом классе изменений. Это может быть:

• изменение во времени;
• переход в другую систему отсчёта;
• поворот или сдвиг системы;
• медленное изменение внешних параметров;
• замена источника и точки наблюдения;
• деформация геометрической конфигурации.
  Проще говоря: если в задаче «что-то происходит», а некоторая величина при этом не меняется - это и есть инвариант.

Чем инвариант отличается от закона сохранения?

Эти понятия близки, но не одинаковы. Законы сохранения это фундаментальные законы природы: сохранение энергии, сохранение импульса, сохранение момента импульса, сохранение заряда. Они выполняются для всех изолированных систем и связаны с самой структурой пространства и времени.

Инвариант это более широкое понятие. Инвариантом может быть не только энергия или импульс, но и:

• угол между векторами;
• отношение величин;
• форма траектории;
• проекция скорости;
• комбинация параметров;
• релятивистский интервал;
• адиабатический инвариант.

То есть всякий закон сохранения - это инвариант, но не всякий инвариант - это закон сохранения.

Симметрия и теорема Нётер

Фундаментальную связь между инвариантами и устройством мира раскрывает теорема Эмми Нётер: каждой непрерывной симметрии физической системы соответствует сохраняющаяся величина.

Что такое симметрия? Это ситуация, когда после некоторого преобразования система физически не изменилась.

Однородность времени

Все моменты времени равноправны. Законы физики не меняются сегодня, завтра и через миллион лет. Отсюда следует закон сохранения энергии.

Однородность пространства

Все точки пространства равноправны. Если сдвинуть всю систему целиком, физика не изменится. Отсюда следует закон сохранения импульса.

Изотропность пространства

Все направления в пространстве равноправны. Поворот системы не меняет физических законов. Отсюда следует закон сохранения момента импульса.

Как вообще находят инвариант?

Это главный вопрос олимпиадной физики. Вот три самых важных вопроса, которые нужно себе задать.

Вопрос №1: что в системе не меняется?

Ищите:

• осевую симметрию;
• центральную симметрию;
• одинаковость условий;
• постоянство углов;
• неизменность направления;
• периодичность движения;
• одинаковость граничных условий.

Если что-то выглядит «одинаково» - это первый кандидат на инвариант.

Вопрос №2: что нельзя создать «из ничего»?

Обычно это:

• энергия;
• импульс;
• момент импульса;
• заряд;
• центр масс;
• поток поля;
• число частиц.

Это прямой путь к законам сохранения.

Вопрос №3: что меняется медленно, а что быстро?

Очень часто быстрые процессы усредняются, а медленные создают скрытые инварианты. Это особенно важно в задачах на:

• колебания;
• орбитальное движение;
• адиабатические процессы;
• медленное изменение параметров;
• последовательность ударов.

Какие инварианты бывают?

Геометрические инварианты:

• угол;
• форма траектории;
• отношение расстояний;
• площадь;
• проекция скорости.

Кинематические инварианты:

• постоянство скорости сближения;
• неизменность относительного направления;
• постоянство некоторых комбинаций координат.

Релятивистские инварианты

Например: $E^{2}-p^{2}c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}$. Эта величина одинакова во всех инерциальных системах отсчёта.

Адиабатические инварианты

Если параметры системы меняются очень медленно по сравнению с её собственным периодом колебаний, появляется адиаббатический инвариант. Например для периодического движения:

$$I=\frac{E}{\nu}\approx const$$

где $E$ - энергия колебаний, $\nu$ - частота.

Пример 1. Адиабатический инвариант против решения «в лоб».

Задача.

Маленький шарик движется между двумя вертикальными параллельными стенками, упруго ударяясь о них. Расстояние между стенками равно $L$. Стенки начинают очень медленно сближать со скоростью $u$, причём $u \ll\upsilon$, где $\upsilon$ - скорость шарика. Как изменится скорость шарика, когда расстояние уменьшится от $L_{1}$ до $L_{2}$ ?

Решение «в лоб».

При каждом ударе о стенку, движущуюся навстречу со скоростью $u$, шарик увеличивает скорость на $\Delta\upsilon=2u$. Время между ударами составляет:
$$\Delta t=\frac{L}{\upsilon}$$

За это время стенки сближаются на:

$$\Delta L=-2u\cdot\Delta t=-2u\cdot\frac{L}{\upsilon}$$

Разделив приращения друг на друга, мы исключаем скорость стенки:

$$\frac{\Delta\upsilon}{\Delta L}=-\frac{\upsilon}{L}$$

Переходя к дифференциалам и интегрируя:

$$\int\frac{d\upsilon}{\upsilon}=-\int\frac{dL}{L}$$

Отсюда:

$$\ln\upsilon=-\ln L+C$$

То есть:

$$\upsilon L=const$$

Окончательно:

$$\upsilon_{2}=\upsilon_{1}\cdot \frac{L_{1}}{L_{2}}$$

Решение через инвариант

Процесс медленный, движение периодическое. Значит, нужно сразу проверить адиаббатический инвариант $I=\frac{E}{\nu}=const$. Здесь $E=\frac{m\upsilon^{2}}{2}$, а частота ударов $\nu=\frac{\upsilon}{2L}$. Тогда:

$$I=\frac{\frac{mv^2}{2}}{\frac{v}{2L}}=m\upsilon L=const$$

Следовательно, $\boxed{\upsilon L=const}$.

И получаем тот же ответ задачи, но быстрее, не интегрируя, по олимпиадному.

Пример 2. Черепахи и постоянство скорости сближения.

Задача.

Четыре черепахи находятся в вершинах квадрата со стороной $L$. Каждая начинает двигаться с постоянной по модулю скоростью $\upsilon$, всё время направляясь на соседнюю черепаху по часовой стрелке. Через какое время они встретятся?

Решение.

Если искать уравнение траекторий, тогда появляются логарифмические спирали - тяжёлая математика и много лишней работы. Но из симметрии следует: черепахи всегда остаются в вершинах уменьшающегося и вращающегося квадрата. Рассмотрим двух соседних черепах. Первая движется прямо на вторую. А вторая в этот момент движется перпендикулярно линии между ними - к следующей черепахе. Значит, её скорость не уменьшает расстояние между ними. Следовательно, скорость сближения соседних черепах всё время постоянна и равна $\upsilon$. Поскольку начальное расстояние $L$, то время до встречи:

$$t=\frac{L}{v}$$

Пример 3. Человек идёт по лодке.

Задача.

Человек массой $m$ стоит на лодке массой $M$, покоящейся на спокойной воде. Он проходит по лодке расстояние $l$. На какое расстояние сместится лодка?

Решение.

По горизонтали внешних сил нет. Значит сохраняется положение центра масс. Это один из важнейших инвариантов.

Если лодка сместилась на $x$ влево, человек относительно берега сместился на $l-x$ вправо. Положение центра масс не меняется:

$$m(l-x)=Mx$$

откуда:
$$x=\frac{ml}{M+m}$$

Одна идея и задача решена. Без сил, ускорений и второго закона Ньютона.

Итог. Чек-лист олимпиадника.

Если задача кажется сложной, спросите:

1. Где здесь симметрия?
2. Что не может измениться?
3. Что меняется очень медленно?
4. Что можно рассматривать как периодический процесс?
5. Что происходит одинаково много раз подряд?
   Очень часто именно здесь спрятано решение.

Удачи!