2.4.3*. Пружина жесткости $k$ зажата между двумя телами. После того как оба тела одновременно освободили, они до момента полного распрямления пружины прошли расстояния $x_1$ и $x_2$. Какую кинетическую энергию приобрело каждое из этих тел?
Решение
Если плоскость гладкая и трения нет, то в этом случае центр масс системы не изменит своего положения, а значит $m_1x_1 = m_2x_2$. (1) Импульс системы не изменится, следовательно: $m_1v_1 = m_2v_2$. (2) Запишем закон сохранения энергии $\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{k(x_1 + x_2)^2}{2}$. (3) Из (1) и (2) находим $m_2 = \frac{x_1}{x_2}m_1$;$v_2 = \frac{x_2}{x_1}v_1$. (4) Теперь подставляем (4) в (3) и получаем для первого тела $\frac{m_1v_1^2}{2} = \frac{k(x_1 + x_2)x_1}{2}$. Для второго тела $\frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{k(x_1 + x_2)x_2}{2}$.