Решение

Число оборотов найдем по отношению полного угла вращения к углу одного оборота($2π$):
$$n=\frac{θ}{2π}$$
Угол вращения можно найти по формуле:
$$θ=\frac{ω²}{2ε}$$
Где $ε$ - угловое ускорение, которое можно найти через момент сил:
$$Iε=μN_xR+μN_yR$$

Что бы найти $N_y$ и $N_x$ распишем второй закон Ньютона:
$$N_y=mg-μN_x$$
$$N_x=μN_y$$
Получаем:
$$N_y=\frac{mg}{1+μ²}$$
$$N_x=\frac{μmg}{1+μ²}$$

Момент инерции тонкостенного цилиндра:
$$I=mR²$$

Подставим в уравнение момента сил и найдем $ε$:
$$ε=\frac{μg(1+μ²)}{R(1+μ)}$$
Найдем угол вращения $θ$:
$$θ=\frac{ω²R(1+μ²)}{2μg(1+μ)}$$
Отсюда:
$$\boxed{x=\frac{ω²R(1+μ²)}{4πμg(1+μ)}}$$