Решение

Распишем второй закон Ньютона и момент сил:

$$ma=mg-2T$$

$$J\varepsilon=2Tr$$

А так же связь угловой и линейной ускорений:

$$a=\varepsilon r$$

С учетом связи ускорений, получаем:

$$\frac{Ja}{r}=2Tr$$

Выразим $T$:

$$T=\frac{Ja}{2r^2}$$

Подставим полученное выражение в уравнение динамики:

$$ma=mg-\frac{Ja}{r^2}$$

Отсюда:

$$a=\frac{mg}{m+\frac{J}{r^2}}$$

Или как записано в авторском ответе:

$$\boxed{a=\frac{g}{1+\frac{J}{mr^2}}}$$

Подставим полученный ответ в выражение $T$:

$$T=\frac{J}{2r^2} \frac{mg}{m+\frac{J}{r^2}}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow T=\frac{Jmg}{2(J+mr^2)}$$

Это соответсвует авторскому ответу:

$$\boxed{T=\frac{1}{2} \frac{mg}{1+\frac{mr^2}{J}}}$$