Решение

a.

Зависимость амплитуды от времени (получена в 3.5.19) выглядит следующим образом:

$$A(t) = A_{0} e^{-\gamma t}$$

Энергия пропорциональна квадрату амплитуды, потому:

$$E(t) = \frac{m \omega_{0}^2 A_{0}^2}{2} e^{-2 \gamma t}$$

$$E(t+\tau) = \frac{m \omega_{0}^2 A_{0}^2}{2} e^{-2 \gamma (t+\tau)}$$

Найдем отношение энергий:

$$\frac{E(t)}{E(t+\tau)} = e^{2 \gamma \tau}$$

Время $\tau$ выбрано так, чтобы осциллятор прошел один радиан, т.е.:

$$\tau = \frac{1}{\omega_{0}}$$

Поскольку $\gamma \ll \omega_{0}$, аргумент экспоненты весьма мал, потому мы вправе воспользоваться приближенной формулой $e^x \approx 1 + x, |x|\ll1$:

$$\frac{E(t)}{E(t+\tau)} = 1 + \frac{2 \gamma}{\omega_{0}}$$

Вспомним также, что определение добротности требует от нас отношение потерь энергии к начальной энергии, потому запишем $E(t+\tau) = E(t) - \Delta E$, причем величина $\Delta E$ достаточно мала по сравнению с $E(t)$:

$$\frac{E(t)}{E(t) - \Delta E} = 1 + 2\gamma \tau$$

Для левой части используем приближение, справедливое при малых $x$, а именно $(1+x)^\alpha \approx 1 + \alpha x$ для любых $\alpha$:

$$1+ \frac{\Delta E}{E(t)} = 1 + \frac{2 \gamma}{\omega_{0}}$$

По определению добротности:

$$Q = \frac{E}{\Delta E} = \frac{\omega_{0}}{2 \gamma}$$

Величина $\gamma$ есть ни что иное, как обратное время, необходимое, чтобы амплитуда осциллятора уменьшилась в $e$ раз.

б.

Из определения добротности:

$$\gamma = \frac{\omega_{0}}{2Q}$$

$$A(t) = A_{0} e^{-\gamma t} = A_{0} e^{ - \frac{\omega_{0}}{2Q} t}$$

Тогда за время $T$ амплитуда упадет в $n = e^{\frac{\omega_{0}}{2Q} T}$ раз. Для ответа на поставленный вопрос возьмем $T = 86400c$