Решение

Запишем закон сохранения энергии:

$$\frac{mgl}{2}=\frac{I\omega^2}{2}$$

Момент инерции стержня относительно одного из концов можно получить из инетграла:

$$\int{x^2dm}$$

Где приращение массы имеет линейный вид:

$$dm=\rho dx$$

Получаем простой инеграл с константой за знаком интеграла:

$$\rho\int{x^2dx}$$

Интегрируем в пределах от $0$ до $l$

$$\rho\frac{l^3}{3}$$

Если стержнь однородный, то момент инерции выглядит так:

$$I=\frac{ml^2}{3}$$

Связь угловой и линейной скоростей:

$$v=\omega l$$

Подставим:

$$\frac{mgl}{2}=\frac{ml^2}{3}\frac{\omega^2}{2}$$

$$gl=\frac{v^2}{3}$$

Получаем ответ:

$$\boxed{v=\sqrt{3gl}}$$