Решение

Так как цилиндр вращается с угловой скоростью $\omega$, внутри него действует сила инерции, эквивалентная центробежной силе. Эта сила действует на каждый элементарный объём жидкости по радиусу от оси вращения цилиндра наружу и имеет вид:

$$dF=dm \omega^{2}r=\rho dV\omega^{2}r$$

где $r$ — расстояние от оси вращения. Эта сила играет роль "искусственной гравитации", направленной от оси вращения к боковой стенке цилиндра. Таким образом, вода в цилиндре прижимается к боковой стенке, формируя поверхность жидкости, аналогичную поверхности воды в гравитационном поле. Учитывая, что давление $dP=\frac{dF}{S}$, получим запись второго закона Ньютона в виде:

$$\frac{dP}{dr}=\rho \omega^{2}r$$

Найдем расстояние от оси вращения до поверхности воды $r_{0}$. Весь объём цилиндра составляет $V_{ц}=\pi R^{2}H$, где $H$ - высота цилиндра. Объём пустого пространства $V_{п}=\pi r_{0}^{2}H$. По условию задачи объём, заполненный жидкостью $V_{ж}=\frac{3}{4}V_{ц}$.

$$V_{ц}-V_{п}=V_{ж}$$
$$\pi R^{2}H-\pi r_{0}^{2}H=\frac{3}{4}\pi R^{2}H$$
$$R^{2}-r_{0}^{2}=\frac{3}{4}R^{2}$$
$$r_{0}=\frac{R}{2}$$

Теперь мы сможем проинтегрировать дифференциальное уравнение для давления с начальным условием, что давление на поверхности жидкости равно 0: $P(r_{0})=0$

$$\int_{P(r_{0})}^{P(r)}dP=\rho \omega^{2}\int_{r_{0}}^{r_{0}+r}rdr$$
$$P(r)=\frac{\rho \omega^{2}}{2}\left[ \left( r_{0}+r \right)^{2}-r_{0}^{2} \right]$$

Так изменяется давление в зависимости от расстояния от оси вращения, но нас просят найти зависимость давления от расстояния от боковой стенки цилиндра $x$. Это расстояние связано с $r$:

$$R-(r_{0}+r)=x$$
$$r=R-r_{0}-x$$

Подставим $r$ в уравнение для давления:

$$P(x)=\frac{\rho \omega^{2}}{2}\left[ \left( R-x \right)^{2}-r_{0}^{2} \right]$$

Теперь подставим значение $r_{0}=\frac{R}{2}$ и окончательно получим:

$$P(x)=\frac{\rho \omega^{2}}{2}\left[ \left( R-x \right)^{2}-\frac{R^{2}}{4} \right]$$