Решение

Если мы представляем электрон в виде сферы радиуса $R$ и с зарядом $e$ равномерно распределённым по поверхности сферы, то вычислим сначала энергию электрического поля такой сферы. Общая формула для энергии электрического поля в объёме $V$:

$$W=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}\int E^{2}dV$$

Электрическое поле внутри сферы $r\lt R$:

$$E=0$$

Электрическое поле снаружи сферы $r\ge R$:

$$E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{e}{r^{2}}$$

Поскольку поле внутри сферы отсутствует, то энергия поля будет состоять из энергии снаружи сферы. Поэтому интегрирование будем производить в пределах от $R$ до бесконечности. Элемент объёма в сферически симметричной системе: $dV=4\pi r^{2}dr$, тогда интеграл для энергии можна записать: