Решение

При включении $RL$-цепи на постоянное напряжение происходит переходный процесс, при котором ток в цепи устанавливается постепенно [1]. Теплоту ищем по закону Джоуля—Ленца в таком виде:

$$W=R\int i^2dt.\tag{1}$$

Закон изменения тока находится через дифференциальное уравнение по второму правилу Кирхгофа для $RL$-цепи:

$$iR+L\frac{di}{dt}=U.$$

Можно показать [2], что с учетом начальных условий данному дифф. уравнению удовлетворяет зависимость:

$$i=\frac{U}{R}\left(1-e^{-\tfrac{t}{\tau}}\right),$$

где $\tau=\dfrac{L}{R}$ есть постоянная времени (время, за которое переменная составляющая тока $i$ меняется в $e$ раз).

С учетом найденной зависимости тока в цепи перепишем формулу $(1)$, взяв интеграл:

$$W=\frac{U^2}{R}\left(t+2\tau e^{-\tfrac{t}{\tau}}-\frac{\tau}{2}e^{-2\tfrac{t}{\tau}}\right),$$

или, в приближении $t\gg\tau$:

$$W\approx\frac{U^2}{R}t.\tag{2}$$

Напряжение источника $U$ найдем из закона изменения тока, записанного выше, подстановкой в него значения $I$ тока для момента времени $t$, заданного в условии:

$$U=\frac{IR}{\left(1-e^{-\tfrac{t}{\tau}}\right)}.$$

Преобразуем эту формулу. Пренебрегать слагаемым с экспонентой не можем, так как в таком случае получаем приближение лишь для постоянного тока. Разложим величину $e^{-\tfrac{t}{\tau}}$ в ряд Тейлора до второго члена [3]: $e^{-\tfrac{t}{\tau}}\approx1-\dfrac{t}{\tau}$. Так что:

$$U\approx\frac{IR\tau}{t}.$$

Подставляем вот эту формулу в формулу $(2)$ и с учетом $\tau=\dfrac{L}{R}$ после упрощений получаем искомую энергию:

$$W\approx\frac{L^2I^2}{Rt}.$$

Примечание: в задачнике 1981 года есть пункт про включение соленоида на переменное напряжение через диод, при этом задача не отмечена «звездой».