Решение

Гантель может свободно вращаться в плоскости вокруг центра масс, который остаётся неподвижным. Мы рассматриваем консервативную систему, в которой силами, совершающими работу, являются электрические силы, и соответственно мы можем применять закон сохранения энергии.

Пусть угол между гантелью и направлением поля равен $\theta$, отсчитываемый от положения, когда гантель перпендикулярна полю (то есть начальное положение соответствует $\theta=\frac{\pi}{2}$, а конечное — $\theta=0$).

Потенциальная энергия заряженных частиц в электрическом поле:

$$U=-q\vec E\cdot \vec r_{+}+q\vec E\cdot \vec r_{-}$$

где $\vec r_{+}$ и $\vec r_{-}$ — радиус-векторы положительно и отрицательно заряженных шариков. Если центр гантели в начале находится в точке $O$, то шарики находятся на расстоянии $\frac{l}{2}$ от центра, а проекция этих точек на поле — это $\frac{l}{2}\cos\theta$ и $-\frac{l}{2}\cos\theta$. Тогда потенциальная энергия:

$$U=-qE\cdot \frac{l}{2}\cos\theta+qE\cdot \left( -\frac{l}{2}\cos\theta \right)=-qEl\cos\theta$$

Кинетическая энергия создаётся за счёт вращения. Обе массы находятся на расстоянии $\frac{l}{2}$ от центра, и если угловая скорость гантели — $\omega$, то линейная скорость каждого шарика:

$$\upsilon=\omega \cdot \frac{l}{2}$$

Кинетическая энергия всей гантели:

$$K=2\cdot \frac{1}{2}m\upsilon^{2}=m\left( \omega \cdot \frac{l}{2} \right)^{2}=\frac{1}{4}m\omega^{2}l^{2}$$