Решение

Сделаем рассуждения на физическом уровне строгости с разумными приближениями.

Начальная напряженность

Перейдем в систему пучка. В ней заряды тока неподвижны. При равномерном распределении зарядов в пучке эти заряды создают электростатическое поле, нахождение которого является стандартной задачей.

Воспользуемся результатом решения задачи $6.2.6$. Поле $E$ на поверхности пучка

$$E_0=\frac{\rho r_0}{2\varepsilon_0},$$

где $\rho$ есть объемная плотность заряда внутри пучка.

Выразим $\rho$ с помощью стандартных определений для начала через концентрацию $n$ электронов в пучке:

$$\rho=\frac{q}{V}=\frac{eN}{V}=en.$$

Теперь с помощью определения тока $I=nevS=nev\pi r_0^2$ перепишем предыдущее:

$$\rho=\frac{I}{v\pi r_0^2}.$$

Полученное выражение для $\rho$ подставим в формулу напряженности

$$\boxed{E_0=\frac{I}{2\pi\varepsilon_0 vr_0}.}$$

Смещение

Теперь найдем расстояние $L$, которое успеют пройти электроны вдоль оси пучка за время $T$ расширения пучка вдвое.

Считаем, что в начальный момент скорости всех электронов направлены вдоль оси пучка и равны $v$.

Продолжим рассуждения в системе отсчета пучка. Считаем, что электроны начинают расталкиваться под действием только сил Кулона из состояния покоя в радиальном направлении.

По теореме Гаусса и симметрии расталкивания можно заключить, что напряженность поля принимает наибольшее значение всегда на поверхности пучка. Это значит, что сила и, следовательно, ускорение приповерхностных электронов определяет расширение пучка. Далее рассматриваем движение одного из таких электронов.

Запишем для электрона второй закон Ньютона в радиальном направлении

$$Ee=m_e\frac{du}{dt}$$

где $u$ есть радиальная скорость электрона.

При расширении осевые скорости электронов не меняются, ток не меняется. Поэтому напряженность $E$ можно представить функцией от переменного радиуса $r$ по результатам первой части решения.

$$\frac{b}{r}e=m_e\frac{du}{dt}$$

где $b=I/2\pi\varepsilon_0v$.

В этом уравнении удобно исключить время, так как $dt=dr/u$; после этого его можно переписать:

$$be\frac{dr}{r}=m_eu\,du.$$

Достаточно просто проинтегрировать и получить

$$be\ln\left(\frac{r}{r_0}\right)=m_e\frac{u^2}{2},\tag{1}$$

с учетом того, что $u=0$ при $r=r_0$.

Из уравнения $(1)$ не удается найти зависимость $r(t)$, в элементарных функциях. Соответственно, невозможно элементарно найти также законы радиальных скорости и ускорения $u(t)$ и $a(t)$. Поэтому без привлечения дополнительных математических соображений продолжим рассуждать физическим путем.

Скорость $u(2r_0)$ при достижении $r=2r_0$:

$$u(2r_0)=\sqrt{\frac{2\ln(2)be}{m_e}}.$$

Из вышеизложенного ясно, что радиальное ускорение $a$ электрона в процессе расширения монотонно уменьшается от максимального значения $E_0e/m_e$ до вдвое меньшего значения.

Продолжим рачет в приближении постоянного ускорения $a^*$, которое оценим средним арифметическим максимума и минимума

$$a^*=\frac{3}{4}\frac{E_0e}{m}.$$

Теперь время процесса

$$T\approx\frac{u(2r_0)}{a^*}$$

и, соответственно, для смещения $L=vT$ вдоль оси пучка получим, собирая вышесказанное,

$$\boxed{ L\approx\sqrt{\frac{32\ln(2)}{9}\frac{m_er_0v^2}{E_0e}}.}$$

Числовой коэффициент под корнем близок коэффициенту $8/3$ из ответа в задачнике.