Решение

Решение предыдущей задачи $2.5.21$ будет похоже на решение этой.

Найдем общее решение из системы уравнений по законам сохранения импульса и энергии.

$$\left\{ \begin{aligned} &m_2v=m_1u+m_2V,\\ &\frac{m_2v^2}{2}=\frac{m_1u^2}{2}+\frac{m_2V^2}{2}, \end{aligned} \right.$$

где $m_1$ есть масса горки, $u$ и $V$ есть скорости горки и тела соответственно в конце процесса.

Решению удовлетворяют две такие скорости горки

$$u_1=0\quad \text{и}\quad u_2=v\frac{2m_2}{m_1+m_2}.$$

Из первого уравнения системы найдем соответствующие им две скорости тела

$$V_1=v\quad \text{и}\quad V_2=v\left(\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\right).$$

Ясно, что горка может в конце остановится ($u=0$), если тело преодолеет ее вершину.

Найдем критическую начальную скорость $v_0$ тела, при которой тело достигнет вершины горки, но не продвинется дальше, так как относительно горки перестанет двигаться (их скорости окажутся равными, обозначим их $w$). Для этого случая снова составляем систему уравнений по законам сохранения импульса и энергии:

$$\left\{ \begin{aligned} &m_2v_0=m_1w+m_2w,\\ &\frac{m_2v_0^2}{2}=\frac{m_1w^2}{2}+\frac{m_2w^2}{2}+m_2gh, \end{aligned} \right.$$

где $h$ есть высота горки.

Критическая скорость отсюда:

$$v_0=\sqrt{hg\left(1+\frac{m_2}{m_1}\right)}.$$

Итак, при $v>v_0$ тело преодолевает горку:

$$u=u_1=0\quad \text{и}\quad V=V_1=v.$$

При $v<v_0$ тело не достигает вершины:

$$u=u_2=v\frac{2m_2}{m_1+m_2} \quad \text{и}\quad V=V_2=v\left(\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\right).$$