Решение

Задача связана с задачей $7.1.4$. Благодаря @emixter, который решил $7.1.4$ и много-много других задач, мы получаем сразу для угла между плоскостью $4$ и направлением вылета из аналогии этих задач:

$$\tan\gamma=\tan\alpha\sqrt{1+\frac{2qEd}{mv^2\sin^2\alpha}}.\tag{1}$$

Напряженность между сетками

$$E=\frac{\varphi}{d},$$

где $\varphi$ есть потенциал трубки с сетками $2$, $3$.

Считаем, ионы приобретали между сетками $1$, $2$ кинетическую энергию за счет работы поля

$$K=q\varphi=mv^2/2.$$

Подставляем предыдущие два уравнения в $(1)$ и после сокращений:

$$\tan\gamma=\frac{1}{\cos\alpha}\sqrt{1+\sin^2\alpha}.$$

Разность $\gamma-\alpha$ дает искомый угол отклонения:

$$\beta=\arctan\frac{1}{\cos\alpha}\sqrt{1+\sin^2\alpha}-\alpha.$$

У Савенко ответ другой в первом варианте

$$\beta=\alpha-\arctan\frac{1}{\cos\alpha}\sqrt{1+\sin^2\alpha}.$$

Второй вариант ответа Савченко пока не проверялся.