Решение

По результатам задачи $3.4.12$:

$$F=k\left(x_2-x_1\right),$$

что по тригонометрии

$$\cos\alpha-\cos\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\beta-\alpha}{2}$$

дает

$$F=2kA\sin\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t\right)\sin\left(\frac{\omega_2+\omega_1}{2}t\right).$$

График зависимости силы натяжения от времени в случае близких частот:

Можно говорить о биениях, так как амплитуда колеблющейся функции меняется периодически.

Закон для энергии

$$E=\frac{k}{2}\left[A_2\cos(\omega_2 t)-A_1\cos(\omega_1 t)\right]^2.\tag{1}$$

Среднее значение $\langle E\rangle$ за большое время (для удобства можно считать при времени $t\to\infty$) есть среднее правой части формулы $(1)$. Правую часть разложим на слагаемые раскрытием квадрата и применим свойство, что среднее суммы равно сумме средних.

$$\langle E\rangle=\langle E_1\rangle+\langle E_2\rangle+\langle E_3\rangle,$$

где $\langle E_1\rangle,\langle E_1\rangle,\langle E_1\rangle$ есть слагаемые правой части $(2)$ после раскрытия квадрата.

Первое слагаемое:

$$\langle E_1\rangle=\langle\frac{k}{2}A_2^2\cos^2(\omega_2 t)\rangle$$

равно

$$\boxed{\langle E_1\rangle=\frac{k}{2}A_2^2\frac{1}{2}}$$

(использовали, что среднее значение косинуса в квадрате равно $1/2$).

Второе слагаемое:

$$\langle E_2\rangle=\langle kA_2\cos(\omega_2 t)A_1\cos(\omega_1 t)\rangle$$

преобразуем с использованием тригонометрической формулы

$$2\cos\alpha\cos\beta=\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)$$

в

$$\langle E_2\rangle=\langle\frac{k}{2}A_2A_1\left[\cos\big((\omega_2+\omega_1)t\big)+\cos\big((\omega_2-\omega_1)t\big)\right]\rangle.$$

Оно равно

$$\boxed{\langle E_2\rangle=0.}$$

(использовали свойство среднего суммы и что среднее значение косинуса равно $0$).

Третье слагаемое:

$$\langle E_3\rangle=\langle\frac{k}{2}A_1^2\cos^2(\omega_1 t)\rangle$$

равно

$$\boxed{\langle E_3\rangle=\frac{k}{2}A_1^2\frac{1}{2}}$$

(использовали, что среднее значение косинуса в квадрате равно $1/2$).

В итоге сложим слагаемые энергии в рамках в ответ

$$\langle E\rangle=\frac{k}{4}[A_1^2+A_2^2].$$