Решение

Условие

$3.5.3^*.$ В условиях задачи 3.5.1 маятник имел в нулевой момент скорость $v_0$ и координату $x_0$. Какой будет амплитуда колебаний после $n$ ударов, если первый из них произошел в нулевой момент? Постройте фазовый портрет.

*(Примечание: в ответе задачника переданный импульс обозначен как $p$, а не $p_0$, как в условии 3.5.1. Для согласованности с авторским ответом далее используется обозначение $p$).*

Решение

Из задачи 3.5.2 известно, что гармоническому колебанию на фазовой плоскости с координатами $(x, \frac{p_{\text{имп}}}{m\omega})$ соответствует движение по окружности. Радиус этой окружности численно равен амплитуде колебаний $A$.
По теореме Пифагора амплитуда для любого состояния выражается как:
$$A = \sqrt{x^2 + \left(\frac{p_{\text{имп}}}{m\omega}\right)^2}$$

Важно учесть, что в момент кратковременного удара координата маятника $x$ измениться не успевает, а его импульс скачком увеличивается на величину переданного импульса $p$.

Рассмотрим два случая частоты ударов.

**Случай 1: Удары следуют через период $T_0$**

За время, равное периоду свободных колебаний $T_0 = 2\pi/\omega$, изображающая точка на фазовом портрете совершает полный оборот (поворот на $360^\circ$) и возвращается к тем же координатам.

1. В нулевой момент времени ($t=0$) начальный импульс равен $mv_0$. Сразу после **первого удара** импульс становится:
   $$p_1 = mv_0 + p$$
2. К моменту второго удара (через время $T_0$) маятник совершает полное колебание и возвращается в точку с координатой $x_0$, а его импульс снова равен $p_1$. **Второй удар** мгновенно добавляет еще один импульс $p$:
   $$p_2 = (mv_0 + p) + p = mv_0 + 2p$$
3. Поскольку каждый период система возвращается в исходное положение $x_0$, импульсы просто алгебраически накапливаются. Сразу после **$n$-го удара** суммарный импульс в этой точке составит:
   $$p_n = mv_0 + np$$
4. Подставляя координату $x_0$ и накопленный импульс $p_n$ в формулу амплитуды, получаем:
   $$A_n = \sqrt{x_0^2 + \left(\frac{mv_0 + np}{m\omega}\right)^2} = \sqrt{x_0^2 + \left(\frac{v_0}{\omega} + \frac{np}{m\omega}\right)^2}$$

На фазовом портрете это движение выглядит как раскручивающаяся спираль, состоящая из концентрических дуг окружностей возрастающего радиуса.

**Случай 2: Удары следуют через полпериода $T_0/2$**

За время $T_0/2$ точка на фазовой плоскости совершает половину оборота (поворот на $180^\circ$). При этом обе координаты (и положение, и импульс) меняют знак на противоположный.

1. **Первый удар ($n=1$, нечетное):** Происходит при $t=0$. Импульс скачком становится $p_1 = mv_0 + p$. Амплитуда после первого удара:
   $$A_1 = \sqrt{x_0^2 + \left(\frac{v_0}{\omega} + \frac{p}{m\omega}\right)^2}$$
2. **Эволюция до второго удара:** Через время $T_0/2$ обе координаты меняют знак. Положение становится $-x_0$, а импульс $-(mv_0 + p)$.
3. **Второй удар ($n=2$, четное):** Наносится удар, добавляющий импульс $+p$. Вычисляем новый импульс:
   $$p_2 = -(mv_0 + p) + p = -mv_0$$
   Рассчитаем амплитуду для этого состояния (с учетом координаты $-x_0$):
   $$A_2 = \sqrt{(-x_0)^2 + \left(\frac{-mv_0}{m\omega}\right)^2} = \sqrt{x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}}$$
   Маятник «сбрасывает» энергию удара и переходит на орбиту меньшего радиуса (амплитуда уменьшается).
4. **Эволюция до третьего удара:** Через еще $T_0/2$ (итого прошел целый период $T_0$) координаты снова меняют знак: $-(-x_0) = x_0$ и $-(-mv_0) = mv_0$. Система вернулась в точности в свое исходное состояние (которое было до первого удара).
5. **Третий удар ($n=3$, нечетное):** Снова добавляет импульс $p$ к исходному $mv_0$. Состояние становится полностью идентичным состоянию после первого удара, следовательно, $A_3 = A_1$.

Таким образом, для всех нечетных $n$ амплитуда равна $A_1$, а для всех четных $n$ она равна $A_2$. На фазовом портрете изображающая точка бесконечно прыгает между двумя замкнутыми полуокружностями (внешней и внутренней).