Решение

Проецируя силу натяжения нити $T$ для нижнего шарика, записываем второй закон Ньютона на вертикальную и горизонтальную оси:

$$T \sin\beta = ma_{ц}$$

$$mg - T \cos\beta = 0$$

Отсюда

$$mg \tan\alpha = ma_{ц}\tag{1}$$

Найдем центростремительное ускорение через угловую скорость вращения $\omega$

$$a_{ц} = \omega^2 r = \omega^2 (l_1+l_2)$$

$$a_{ц} = \omega^2 l(\sin\alpha + \sin\beta )$$

Подставляем в $(1)$

$$g \tan\alpha = \omega^2 l(\sin\alpha + \sin\beta )$$

Откуда находим $\omega$

$$\boxed{\omega = \sqrt{ \frac{g \, \tan\beta} {l(\sin \beta + \sin\alpha )} }}$$