Альтернативное решение

Найдём угол отклонения нити от вертикали, при котором ускорение шарика будет иметь горизонтальное направление ещё одним способом. Будем использовать рисунок из правильного решения.

Поскольку центростремительное ускорение ($\vec a_{n}$) направлено вдоль нити, а тангенциальное ($\vec a_{\tau}$) — перпендикулярно нити, их векторная сумма образует прямоугольный треугольник. Для того чтобы суммарное ускорение было горизонтально, сумма векторов $\vec a_{n}$ и $\vec a_{\tau}$ должна быть горизонтальна. В искомой точке вертикальная составляющая результирующего вектора должна быть равна 0:

$$a_{верт}=a_{n}\cos\alpha-a_{\tau}\sin\alpha=0$$

Отсюда:

$$a_{n}\cos\alpha=a_{\tau}\sin\alpha \tag{1}$$

Тангенциальное ускорение обусловлено силой тяжести: $a_{\tau}=g\sin\alpha \tag{2}$.

Центростремительное ускорение равно:

$$a_{n}=\frac{\upsilon^{2}}{R}$$

Скорость в искомой точке найдём из закона сохранения энергии. Нулевой уровень потенциальной энергии примем нижнее положение шарика на траектории. Тогда:

$$mgR=\frac{m\upsilon^{2}}{2}+mgR(1-\cos\alpha)$$
$$\upsilon^{2}=2gR\cos\alpha$$

Следовательно,

$$a_{n}=2g\cos\alpha \tag{3}$$

Подставим (2) и (3) в (1):

$$2g\cos\alpha \cdot \cos\alpha=g\sin\alpha \cdot \sin\alpha$$
$$(\tan\alpha)^{2}=2$$
$$\tan\alpha=\sqrt{2}$$

Отсюда:

$$\alpha=\arctan(\sqrt{2})$$

Чтоб не смущать читателей, покажу, что $\tan\alpha=\sqrt{2}$ это тоже самое, что $\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}$:

$$(\tan\alpha)^{2}=2$$
$$\frac{\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}=2$$
$$\frac{1-\cos^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}=2$$
$$1-\cos^{2}\alpha=2\cos^{2}\alpha$$
$$\cos^{2}\alpha=\frac{1}{3}$$
$$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}$$