Решение

Оптимальная траектория, соответствующая минимально возможной скорости броска, должна почти касаться краев дома. Минимум скорости камня в точке бросания соответствует минимальной кинетической энергии камня в точке касания с краем дома.

Таким образом, задача сводится к определению минимальной скорости камня в верхней угловой точке дома, достаточно для того, чтобы преодолеть расстояние, равное длине дома $L$ — камень должен в этом месте иметь скорость, направленную под углом $45^{ \circ}$ к горизонту. Скорость камня в этой точке определяется известным соотношением:

$$L = \frac{v^{2} \sin 2\alpha}{g}$$

С учетом выбранного угла получим

$$v^{2} = gL$$

Скорость в точке броска $u$ найдется из закона сохранения энергии:

$$\frac{mu^{2} }{2} + mgh = \frac{mv^{2} }{2} + mgH$$

$$u=\sqrt{g(2(H-h)+L)}$$