На сколько отстанут за сутки маятниковые часы, поднятые на высотуЭвереста (8,9 км)? Останкинской башни (0,5 км)?

Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#3.2">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие </h3>
    <p>
        $3.2.9.$ На сколько отстанут за сутки маятниковые часы, поднятые на высоту

Эвереста (8,9 км)? Останкинской башни (0,5 км)?

    <h3>Решение</h3>
    <p>
        Период колебаний математического маятника

$$T_0=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}; \quad T_1=2\pi\sqrt{\frac{l}{g^*}}$$
Ускорение свободного падения в зависимости от расстояния до центра Земли массы $M$
$$g=\frac{GM}{R^2}$$
$$g^*=\frac{GM}{(R+H)^2}$$
Отношение ускорений свободного падения для разных расстояний до центра
$$\frac{g}{g^*}=\frac{(R+H)^2}{R^2}\Rightarrow g^*=\frac{gR^2}{(R+H)^2}$$
Используясь приближением для малого значения $x =\frac{h}{R} \ll 1$; $(1+x)^\alpha\approx 1+\alpha x$:
$$T_1=2\pi\frac{R+H}{R}\sqrt{\frac{l}{g}}$$
Откуда искомое отставание находим как
$$\Delta T_1=T_1-T_0=T_0(\frac{R+H}{R}-1)=2\text{ min}$$
$$\Delta T_2=T_2-T_0=T_0(\frac{R+h}{R}-1)=6.75\text{ s}$$

Dzikan Mikita

    <h4>Ответ</h4>
    <p>
        $$\Delta T_1=2\text{ min}\quad\Delta T_2=6.75\text{ s}$$
    </p>


<footer class="row container">
  <br>
    <p>
        <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>