Движение заряженных частиц в сложных полях > Движение в однородном магнитном поле > Задача 10.1.9

Условие

$10.1.9.$ В устройстве для определения изотопного состава ионы калия $^{39}K^{+}$ и $^{41}K^{+}$ сначала ускоряются в электрическом поле, а затем попадают в однородное магнитное поле индукции $B$, перпендикулярное направлению их движения. В процессе опыта из-за несовершенства аппаратуры ускоряющее напряжение меняется около своего среднего значения на величину $\pm \Delta V$ . С какой относительной погрешностью $\frac{\Delta V}{V_{0}}$ нужно поддерживать постоянным значение ускоряющего напряжения, чтобы следы пучков изотопов калия на фотопластинке $Φ$ не перекрывались?

Решение

Когда ион проходит ускоряющее напряжение $V$, он приобретает кинетическую энергию:

$$\frac{m\upsilon^{2}}{2}=qV \Longrightarrow \upsilon=\sqrt{\frac{2qV}{m}}$$

В магнитном поле действует сила Лоренца, которая является центростремительной:

$$q\upsilon B=\frac{m\upsilon^{2}}{R} \Longrightarrow R=\frac{m\upsilon}{qB}$$

Подставим скорость $\upsilon$:

$$R=\frac{m}{qB}\sqrt{\frac{2qV}{m}}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mV}{q}}$$

Расстояние от входа в поле до следа на пластинке это диаметр $D=2R$.

Из-за того, что напряжение $V$ меняется от $V_{min}=(V_{0}-\Delta V)$ до $V_{max}=(V_{0}+ \Delta V)$, вместо тонкой линии каждый изотоп оставляет на пластинке полосу:

Легкий изотоп ($m_{1}=39$): его полоса заканчивается там, где напряжение максимально:

$$D_{1max}=\frac{2}{B}\sqrt{\frac{2m_{1}(V_{0}+\Delta V)}{q}}$$

Тяжелый изотоп ($m_{2}=41$): его полоса начинается там, где напряжение минимально:

$$D_{2min}=\frac{2}{B}\sqrt{\frac{2m_{2}(V_{0}-\Delta V)}{q}}$$

Чтобы пучки не перекрывались, правый край полосы легкого изотопа должен быть левее, чем левый край полосы тяжелого:

$$D_{1max}\lt D_{2min}$$

Подставляем:

$$\frac{2}{B}\sqrt{\frac{2m_{1}(V_{0}+\Delta V)}{q}}\lt \frac{2}{B}\sqrt{\frac{2m_{2}(V_{0}-\Delta V)}{q}}$$
$$\sqrt{m_{1}(V_{0}+\Delta V)}\lt \sqrt{m_{2}(V_{0}-\Delta V)}$$

После преобразований получим:

$$\frac{\Delta V}{V_0}\lt \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}$$

Подставим массы изотопов калия:

$$\frac{\Delta V}{V_{0}}\lt \frac{41-39}{41+39}=\frac{2}{80}=0.025$$

Ответ

$$\frac{\Delta V}{V_{0}}\lt 0.025$$