Электромагнитная индукция > Движение проводников в постоянном магнитном поле. Электродвигатели > Задача 11.1.32

Условие

$11.1.32.$ Один конец провода трамвайной линии находится под постоянным напряжением $V$ относительно земли. На каком расстоянии от этого конца линии находится трамвай, снабженный двумя одинаковыми двигателями, и с какой скоростью он движется, если при последовательном включении его двигателей ток в линии равен $I_{1}$, при параллельном — $I_{2}$, а скорость трамвая при таком переключении не изменяется? Сила трения $F$, сопротивление единицы длины провода $\rho$, сопротивление обмотки каждого двигателя $R$.

Решение

При подключении в цепь электродвигателя, при работе которого возникает ЭДС самоиндукции $E$, закон Ома будет:

$$V=IR+E$$

Если домножить на силу тока, то получим, что полная потребляемая мощность:

$$VI=I^{2}R+EI$$

Первое слагаемое это мощность тепловых потерь, а втрое слагаемое есть полезная мощность, которая преобразуется в механическую мощность из электрической:

$$P_{мех}=EI$$

Но с другой строны, если скорость трамвая постоянна, то механическая мощность:

$$P_{мех}=F\upsilon$$

Отсюда

$$E=\frac{F\upsilon}{I} \tag{1}$$

При последовательном соединение ток через каждый двигатель одинаков $I=I_{1}$. Пусть $\mathscr{E}$ - ЭДС самоиндукции одного двигателя. Тогда:

$$F\upsilon=2\mathscr{E}I_{1}\Longrightarrow \mathscr{E}=\frac{F\upsilon}{2I_{1}}$$

Суммарная ЭДС двух двигателей:

$$\mathscr{E_{общ}}=2\mathscr{E}=\frac{F\upsilon}{I_{1}}$$

Полное сопротивление в цепи при последовательном соединении:

$$R_{общ}=R_{лин}+R_{1дв}+R_{2дв}=\rho l+R+R=\rho l+2R$$

Закон Ома будет:

$$V=I_{1}(\rho l+2R)+\frac{F\upsilon}{I_{1}} \tag{2}$$

При параллельном соединение ток через каждый двигатель $I=\frac{I_{2}}{2}$, тогда:

$$F\upsilon=2\mathscr{E}\frac{I_{2}}{2}\Longrightarrow \mathscr{E}=\frac{F\upsilon}{I_{2}}$$

При параллельном соединение суммарная ЭДС двух двигателей $\mathscr{E_{общ}}=\mathscr{E}$.

Полное сопротивление в цепи при параллельном соединении:

$$R_{общ}=R_{лин}+\frac{1}{\frac{1}{R_{1дв}}+\frac{1}{R_{2дв}}}=\rho l+\frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{R}}=\rho l+\frac{R}{2}$$

Закон Ома будет:

$$V=I_{2}(\rho l+\frac{R}{2})+\frac{F\upsilon}{I_{2}} \tag{3}$$

Итак, у нас есть система двух уравнений (2) и (3) с 2 неизвестными - $l$ и $\upsilon$. Выразим из (3) скорость:

$$\boxed{\upsilon=\frac{I_{2}}{2F}\left[ 2V-I_{2}(2\rho l+R) \right]}$$

Подставим её в (2):

$$V=I_{1}(\rho l+2R)+\frac{F}{I_{1}}\frac{I_{2}}{2F}\left[ 2V-I_{2}(2\rho l+R) \right]$$

Отсюда получим:

$$\boxed{l=\frac{2V(I_{2}-I_{1})+R(4I_{1}^{2}-I_{2}^{2})}{2\rho(I_{2}^{2}-I_{1}^{2})}}$$

Ответ

$$l=\frac{2V(I_{2}-I_{1})+R(4I_{1}^{2}-I_{2}^{2})}{2\rho(I_{2}^{2}-I_{1}^{2})}$$

$$\upsilon=\frac{I_{2}}{2F}\left[ 2V-I_{2}(2\rho l+R) \right]$$