Электромагнитная индукция > Сохранение магнитного потока. Сверхпроводники в магнитном поле > Задача 11.5.15

Условие

$11.5.15^*.$ Почему ответ задачи $11.5.14$ не зависит от формы концов снаряда?

Решение

Считаем что поле внутри снаряда равно нулю Поле вне снаряда равно внешенему магнитному полю $B$.

Покажем сначала, что уже находящийся полностью внутри соленоида сверхпроводник (СП) при движении вдоль оси соленоида не создает изменение магнитного потока в соленоиде.

Считаем, такой СП произвольной формы с осевой симметрией, где ось симметрии лежит пусть на оси соленоида. Считаем, в пределах одного втика соленоида площадь попеперечного сечения $s_i$ СП постоянна (поперечное сечение поперек скорости $v$). Визуализация ниже (обозначения далее):

Магнитный поток через соленоид при имеющемся в нем СП:

$$
\Phi^*=BSN-\sum\limits_{i=1}^{N_0}Bs_i
$$

где $S,N$ есть площадь поперечная и число витков соленоида, $s_i$ есть площадь поперечного сечения СП на $i$-ом витке соленоида, $N_0$ есть количество витков, секущих СП.

По этой формуле видим, что магнитный поток в таком случае не зависит от положения СП, значит, при смещении его вдоль оси этот магнитный поток не изменится. Как следствие нет и напряжения на выводах соленоида (см. закон электромагн. индукции).

Получается, что изменение магнитного потока в соленоиде создается СП, который входит снаружи в соленоид. Мгновенное значения ЭДС индукции в соленоиде равно минус отношению малого изменения $d\Phi$ магнитного потока к малому времени $dt$ за счет добавления элемента длины $dl$ снаряда с площадью поперечного сечения $ds$, занимающего $dN$ витков соленоида. тогда пишем:

$$
\mathscr E_i=-\frac{d\Phi}{dt}=-\frac{-BsdN}{dt}.
$$

Можно записать $dN=\dfrac{dl}{L}N$, где $L$ есть длина соленоида. Тогда предыдущее с учетом $v=dl/dt$ и $n=N/L$ (где $n$ есть число витков на единицу длины соленоида) переписывается

$$
\mathscr E_i=Bsnv.
$$

Величины $B,n,v$ постоянны. ЭДС есть функция площади поперечного сечения $s$ СП и она прямо пропорциональна $s$. Значит, максимум $\mathscr E$ при максимуме $s$, а максимум $s$ у снаряда достигается на основной его цилиндрической части, не на концах.

Ответ

Максимум ЭДС в соленоиде отвечает максимуму $s$ поперечного сечения снаряда, а максимум $s$ у снаряда достигается на основной его цилиндрической части, не на концах.