Специальная теория относительности > Постоянство скорости света. Сложение скоростей > Задача 14.1.14

Условие

$14.1.14.$ Лодочник под мостом уронил в воду багор. Через время $\tau$ , находясь на расстоянии $L$ от моста, он обнаружил потерю и, повернув назад, догнал багор на расстоянии $l$ от моста. Время и расстояния приведены в системе «берег». Какова скорость реки? Получите релятивистский ответ и из него нерелятивистское приближение.

Решение

$\textbf{Эпиграф: "Каждые найденные багры счастливы одинаково, а каждый потерянный багор несчастен по своему".}$ (Перефразировка классика)

Пусть $u$ - собственная скорость лодки относительно воды, а $\upsilon$ - скорость реки относительно берега. В системе отсчёта "берег" скорость лодки по течению $V_{1}$ и против течения $V_{2}$ определяются релятивистской формулой сложения скоростей:

$$V_{1}=\frac{u+\upsilon}{1+\frac{u\upsilon}{c^{2}}}$$
$$V_{2}=\frac{u-\upsilon}{1-\frac{u\upsilon}{c^{2}}}$$

Скорость багра в системе "берега" равна скорости реки $\upsilon$.

Лодочник упустил багор под мостом с пространственно-временной координатой $x=0, t=0$. Через время $\tau$ по часам "берега" лодка оказалась на расстоянии $L$:

$$L=V_{2}\cdot\tau=\frac{u-\upsilon}{1-\frac{u\upsilon}{c^{2}}}\cdot\tau \tag{1}$$

Лодочник разворачивается и догоняет багор на расстоянии $l$ от моста. Пусть $t^{'}$ - время движения лодки назад до момента встречи с багром. Багор за время разлуки с лодочником преодолеет расстояние:

$$l=\upsilon(\tau+t^{'})$$

Отсюда:

$$t^{'}=\frac{l}{\upsilon}-\tau$$

Расстояние, которое прошла лодка назад:

$$L+l=V_{1}\cdot t^{'}=\frac{u+\upsilon}{1+\frac{u\upsilon}{c^{2}}}\cdot\left( \frac{l}{\upsilon}-\tau \right) \tag{2}$$

Итак, мы получили систему из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными $u$ и $\upsilon$. Из-за скучности и громоздкости алгебраических преобразований я их буду опускать и писать сразу результат. Из (1) выражу $u$:

$$u=\frac{c^{2}(L+\upsilon\tau)}{c^{2}\tau+L\upsilon}$$

Подставим в (2) и после долгих преобразований получим квадратное уравнение относительно $\upsilon$:

$$(2L+l)\upsilon^{2}+2c^{2}\tau\upsilon-lc^{2}=0$$

Нас интересует только положительный корень:

$$\boxed{\upsilon=\frac{\tau c^{2}}{l+2L}\left( \sqrt{1+\frac{l(l+2L)}{c^{2}\tau^{2}}} -1\right)}$$

Нерелятивистское приближение получается при $l\ll c\tau$ и $L\ll c\tau$, тогда воспользовавшись формулой $(1+x)^{\alpha}\approx 1+\alpha x$ при $x\ll 1$, получим:

$$\boxed{\upsilon_{кл}=\frac{\tau c^{2}}{l+2L}\left( 1+\frac{l(l+2L)}{2c^{2}\tau^{2}} -1\right)=\frac{l}{2\tau}}$$

В ответе задачника то ли опечатки, то ли просто неверный ответ.

В рамках классической механики эта задача решается элементарно. Перейдём в систему отсчёта связанную с рекой. В этой системе вода неподвижна и багор наш неподвижен. Лодочник отдаляется от неподвижного багра время $\tau$, а потом с той же скоростью приближается к багру за тоже время $\tau$. Общее время разлуки багра с лодочником будет $2\tau$. За это время сам багор преодолел расстояние $l$ в системе отсчёта "берег", и преодолевал он его со скоростью реки $\upsilon$:

$$l=\upsilon\cdot2\tau\Longrightarrow \upsilon=\frac{l}{2\tau}$$

Ответ

$$\upsilon=\frac{\tau c^{2}}{l+2L}\left( \sqrt{1+\frac{l(l+2L)}{c^{2}\tau^{2}}} -1\right)$$
$$\upsilon_{кл}=\frac{l}{2\tau}$$
при $l\ll c\tau$ и $L\ll c\tau$