Специальная теория относительности > Преобразование электрического и магнитного полей > Задача 14.3.2

Условие

$14.3.2.$ Решите задачу $14.3.1.$ в случае, когда скорость $\beta c$ направлена под углом $\alpha$ к пластинам конденсатора. Как связаны между собой электрическая напряженность и магнитная индукция в этом конденсаторе?

Решение

Задачу буду решать в системе СГС. Обозначим $K^{'}$ - система отсчёта связанная с движущимся конденсатором, а $K$ - лабораторная система.

Фактор Лоренца:

$$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{с^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\beta^{2}с^{2}}{с^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$$

Для произвольного направления скорости $\vec\upsilon$ преобразования Лоренца для полей можно записать в векторной форме, разделив поля на компоненты параллельные и перпендикулярные к скорости:

$$\vec E_{\parallel }^{'}=\vec E_{\parallel }, \quad \vec B_{\parallel }^{'}=\vec B_{\parallel }$$
$$\vec E_{\bot }^{'}=\gamma\left( \vec E_{\bot }+\frac{1}{c}\left[ \vec\upsilon\times \vec B \right]_{\bot } \right), \quad \vec B_{\bot }^{'}=\gamma\left( \vec B_{\bot }-\frac{1}{c}\left[ \vec\upsilon\times \vec E \right]_{\bot } \right)$$

Если скорость конденсатора направлена под углом $\alpha$ к пластинам конденсатора, то:

$$E_{\parallel }=E\sin\alpha, \quad E_{\bot }=E\cos\alpha$$

В лабораторной системе магнитного поля в конденсаторе нет: $B=0$.

Согласно преобразованиям Лоренца получим:

$$E_{\parallel }^{'}=E\sin\alpha, \quad E_{\bot }^{'}=\gamma E\cos\alpha, \quad B_{\bot }^{'}=\frac{\gamma\upsilon E_{\bot }}{c}=\gamma\beta E\cos\alpha$$

Отсюда связь электрической напряженности и магнитной индукции:

$$B_{\bot }^{'}=\beta E_{\bot }^{'}$$

Ответ

$$E_{\bot }^{'}=\gamma E\cos\alpha, \quad E_{\parallel }^{'}=E\sin\alpha, \quad B^{'}=\gamma\beta E\cos\alpha=\beta E_{\bot }^{'}$$