Колебания и волны > Наложение колебаний > Задача 3.4.3

Условие

$3.4.3.$ а. Математический маятник совершает малые колебания в одной плоскости. Амплитуда его колебаний $A$, частота $\omega$. В момент максимального отклонения шарику маятника сообщили небольшую скорость $v$, направленную перпендикулярно плоскости колебаний. По какой траектории будет двигаться шарик маятника после этого? В каких пределах будет изменяться расстояние от шарика до положения равновесия?

б$^*$. Ответьте на первый вопрос для случая, когда скорость $v$ сообщена шарику в момент, когда он находится на расстоянии $\chi$ от положения равновесия.

Решение

Пункт a

Пусть до сообщения перпендикулярной скорости движение было вдоль оси $x$. После сообщения скорости добавляется колебание по перпендикулярной оси $y$. Можно считать, что результирующее движение есть наложение колебаний вдоль этих осей. Частоты накладывающихся колебаний равны.

После сообщение указанной скорости можем записать

$$
x=A\cos\omega t,
\quad
y=B\sin\omega t,
$$

где $\omega$ есть частота колебаний по каждой оси, $B$ есть амплитуда колебаний по оси $y$.

Выделяем косинус и синус в этих формулах, возводим в квадрат, складываем уравнения и по основному тригонометрическомй тождеству $\cos^2\alpha+\sin^2\beta=1$ получаем

$$
\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}=1.
$$

Это — уравнение эллипса.

Амплитуда скорости по оси $y$ равна $v=\omega B$, так что

$$
\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{(v/\omega)^2}=1.
$$

Итак, полуоси эллипса равны $A$ и $v/\omega$.

Центр эллипса в центре системы координат $xy$, поэтому расстояние меняется от $v/\omega$ до $A$.

Пункт б$^*$

В этом случае после сообщения скорости движение по оси $y$ описываем так же:

$$
y=B\sin\omega t.
$$

А вот движение по оси $x$ получает некоторую начальную фазу $\varphi$.

$$
x=A\sin\left(\omega t+\varphi\right).
$$

Будем преобразовывать уравнение движения по оси $x$. Раскроем синус суммы [1]:

$$
x=A\left(\sin\omega t\cos\varphi+\cos\omega t\sin\varphi\right)
$$

Заметим, что $\chi=A\sin\varphi$:

$$
x=A\cos\varphi\sin\omega t+\chi\cos\omega t.
$$

Далее, $\cos\varphi=\sqrt{1-\sin^2\varphi}$, так что, внося $A$ под корень и вспоминая предыдущее, пишем

$$
\sqrt{A^2-\chi^2}\sin\omega t+\chi\cos\omega t.
$$

C помощью $y=B\sin\omega t$ избавляемся от синуса и косинуса в предыдущей формуле:

$$
x=\sqrt{A^2-\chi^2}\frac{y}{B}+\chi\sqrt{1-\frac{y^2}{B^2}}.
$$

Вероятно связь коородинат описывается кривой второго порядка. Будем возводить в квадрат это уравнение. Удобно, например, избавиться от дробей и так преобразовать:

$$
\left(xB-y\sqrt{A^2-\chi^2}\right)^2=\left(\chi\sqrt{B^2-y^2}\right)^2.
$$

Приведем это к такой форме пока:

$$
x^2B^2+y^2A^2-2xyB\sqrt{A^2-\chi^2}-\chi^2B^2=0.\tag{$*$}
$$

Не совсем ясно, что это за кривая и как это упростить. По результатам пункта а предположим, что траектория будет также эллипсом, хотя его полуоси могут быть повернуты относительно осей принятой системы $xy$ [2].

Пусть есть система осей $x_1y_1$, в которой полуоси этого эллипса лежат на осях системы. Тогда в этой системе уравнение этого эллипса

$$
\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1,\tag{1}
$$

где $a$ есть полуось по оси $x_1$, $b$ есть полуось по оси $y_1$.

Известно, что от координат одной системы можно перейти к координатам другой системы так [3]:

$$
\begin{gathered}
x_1=x\cos\alpha+y\sin\alpha,\\
y_1=-x\sin\alpha+y\cos\alpha,
\end{gathered}\tag{2}
$$

где $\alpha$ есть угол, на который повернута система $x_1y_1$ относительно системы $xy$ (системы правосторонние, положительный угол поворота — против часовой стрелки).

Посмотрим, как будет выглядеть уравнение предполагаемого эллипса в исходной системе через переход от координат системы $x_1y_1$ к координатам системы $xy$. Подставляем систему $(2)$ в уравнение $(1)$ и после всевозможных упрощений получаем

$$
x^2C+y^2D-2xyE-F=0
$$

где

$$
\begin{gathered}
C=b^2\cos^2\alpha+a^2\sin^2\alpha,\\
D=b^2\sin^2\alpha+a^2\cos2\alpha,\\
E=\cos\alpha\sin\alpha(a^2-b^2),\\
F=a^2b^2.
\end{gathered}\tag{3}
$$

Этот результат совпадает по форме с уравнением кривой $(*)$. Сопоставляя найденные коэффициенты $C,D,E,F$ с коэффициентами уравнения $(*)$, запишем

$$
\begin{gathered}
B^2=b^2\cos^2\alpha+a^2\sin^2\alpha,\\
A^2=b^2\sin^2\alpha+a^2\cos^2\alpha.
\end{gathered}\tag{4}
$$

Отсюда найдем полуось $a$:

$$
a=\sqrt{\frac{1}{2}\left(B^2+A^2\pm\sqrt{\left(B^2+A^2\right)^2-4(\chi B)^2}\right)}.
$$

Из системы $(4)$ также

$$
b^2=B^2+A^2-a^2,
$$

отсюда полуось $b$:

$$
b=\sqrt{\frac{1}{2}\left(B^2+A^2\mp\sqrt{\left(B^2+A^2\right)^2-4(\chi B)^2}\right)}.
$$

Траектория движения тут должна быть единственной из физических соображений. Две пары полуосей возможны, если они дают один и тот же эллипс.

Проверим угол $\alpha$ поворота системы $x_1y_1$ относительно $xy$. Подставим, к примеру, найденные решения для полуосей $a$ и $b$ в первое уравнение системы $(4)$, заменив синус на косинус:

$$
B^2=b^2\cos^2\alpha+a^2-a^2\cos^2\alpha,
$$

откуда решая:

$$
\cos^2\alpha=\frac{A^2}{\pm\sqrt{(B^2+A^2)^2-4(\chi B)^2}}+1
$$

Поскольку $\cos^2\alpha$ не больше единицы, то возможное решение с «нижним знаком». Поэтому решения для полуосей ограничиваются:

$$
a^*=\sqrt{\frac{1}{2}\left(B^2+A^2-\sqrt{\left(B^2+A^2\right)^2-4(\chi B)^2}\right)}
$$

и

$$
b^*=\sqrt{\frac{1}{2}\left(B^2+A^2+\sqrt{\left(B^2+A^2\right)^2-4(\chi B)^2}\right)},
$$

где $B=v/\omega$.

Литература

[1] И. Яковлев. Тригонометрические формулы. mathus.ru.

[2] "Описать повернутый эллипс". cyberforum.ru.

[3] Зельдович Я. Б. Высшая математика для начинающих физиков и техников. ИТФ Ландау. 1982.

Ответ

а. Траектория — эллипс с полуосями $A$ и $v/\omega$. Пределы изменения расстояния от $v/\omega$ до $A$.

б$^*$. Траектория — эллипс с полуосями

$$
\sqrt{\frac{1}{2}\left(A^2+\frac{v^2}{\omega^2}\pm\sqrt{\left(A^2+v^2/\omega^2\right)^2-4(\chi v/\omega)^2}\right)}.
$$