Колебания и волны > Деформации и напряжения. Скорость волн > Задача 3.6.12

Условие

$3.6.12.$ При действии продольных сил, растягивающих или сжимающих упругое тело, изменяются не только его продольные, но и поперечные размеры. Рассмотрите модель ячейки кристалла, в которой связи атомов представлены пружинами. Жесткость диагональных пружин $k$, остальных — $k_{0}$. Определите отношение сжатия поперечных пружин к удлинению продольных при малых деформациях.

Решение

Для решения задачи буду использовать энергетический подход. Пусть исходная ячейка представляет собой квадрат со стороной $a$. При растяжении ячейки вдоль горизонтальной оси её длина увеличивается на величину удлинения продольных пружин $\Delta x$. При этом в поперечном направлении ячейка сжимается, уменьшая свою высоту на величину сжатия поперечных пружин $\Delta y$.

Исходная длина диагонали равна $d_{0}=a\sqrt{2}$. Новая длина диагонали $d$ после деформации составляет:

$$d=\sqrt{(a+\Delta x)^{2}+(a-\Delta y)^{2}}=\sqrt{a^{2}+2a\Delta x+(\Delta x)^{2}+a^{2}-2a\Delta y+(\Delta y)^{2}}$$

Учитывая, что деформации малы $\Delta x \ll a$ и $\Delta y \ll a$, пренебрежём квадратичными членами:

$$d\approx\sqrt{2a^{2}+2a(\Delta x-\Delta y)}=a\sqrt{2}\cdot\sqrt{1+\frac{\Delta x-\Delta y}{a}}$$

Используя формулу $\sqrt{1+\varepsilon}\approx 1+\frac{\varepsilon}{2}$:

$$d\approx a\sqrt{2}\left(1+\frac{\Delta x-\Delta y}{2a}\right)=a\sqrt{2}+\frac{\Delta x-\Delta y}{\sqrt{2}}$$

Следовательно, удлинение каждой диагональной пружины равно:

$$\Delta d=d-d_0=\frac{\Delta x-\Delta y}{\sqrt{2}}$$

Полная потенциальная энергия упругой деформации ячейки состоит из энергии двух продольных, двух поперечных и двух диагональных пружин:

$$E=2\cdot\frac{k_{0}(\Delta x)^{2}}{2}+2\cdot\frac{k_{0}(\Delta y)^{2}}{2}+2\cdot\frac{k (\Delta d)^{2}}{2}$$
$$E=k_{0}(\Delta x)^{2}+k_{0}(\Delta y)^{2}+k\left(\frac{\Delta x-\Delta y}{\sqrt{2}}\right)^{2}=k_{0}(\Delta x)^{2}+k_{0}(\Delta y)^{2}+\frac{k}{2}(\Delta x-\Delta y)^{2}$$

По вертикали внешних сил нет, значит при фиксированном $\Delta x$:

$$\frac{\partial E}{\partial (\Delta y)}=0$$

То есть система принимает такую поперечную деформацию $\Delta y$, при которой её потенциальная энергия минимальна. Возьмем производную:

$$\frac{\partial E}{\partial (\Delta y)}=2k_{0}\Delta y+\frac{k}{2}\cdot 2(\Delta x-\Delta y) \cdot (-1)=0$$
$$2k_{0}\Delta y-k(\Delta x-\Delta y)=0$$

Отсюда:

$$\Delta y(2k_{0}+k)=k\Delta x$$

Окончательно:

$$\nu=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k}{k+2k_{0}}$$

Ответ

$$\nu=\frac{k}{k+2k_{0}}$$

Альтернативное решение

Для тех, кто любит решать через силы: