Колебания и волны > Звук. Акустические резонаторы > Задача 3.9.13

Условие

$3.9.13.$ Как изменятся собственные частоты колебаний стального шарика при увеличении его радиуса вдвое?

Решение

$\textbf{Эпиграф}$: Большие тела звучат ниже - и в музыке, и в физике.

Любую упругую колебательную систему по первой (основной) моде можно приближенно представить в виде эквивалентного гармонического осциллятора - тела массой $m_{экв}$, прикрепленного к пружине с жесткостью $k_{экв}$.

Собственная круговая частота $\omega$ такого осциллятора задается формулой:

$$\omega=\sqrt{\frac{k_{экв}}{m_{экв}}}$$

Для анализа изменения частоты при изменении размеров тела (радиуса $R$) необходимо определить, как масштабируются параметры $m_{экв}$ и $k_{экв}$ при условии, что материал (сталь) и форма (шар) остаются неизменными.

Полная масса однородного шара:

$$m=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho$$

Эквивалентная масса $m_{экв}$, участвующая в колебаниях, пропорциональна полной массе шара с некоторым безразмерным коэффициентом формы $\alpha$, который зависит только от конкретной моды колебаний:

$$m_{экв}=\alpha m=\alpha\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho$$

Так как плотность стали $\rho=const$ и коэффициент формы $\alpha=const$, то:

$$m_{экв}\sim R^{3} \tag{1}$$

Эквивалентная жесткость $k_{экв}$ связывает возвращающую силу $F$ с характерным линейным смещением $x$ элементов шара:

$$F=k_{экв}x$$

Согласно закона Гука механическое напряжение:

$$\sigma=E\cdot\varepsilon \tag{2}$$

Напряжение в шаре создается силами упругости. Сила $F$ распределяется по характерной площади поперечного сечения шара $S\sim R^{2}$, тогда:

$$\sigma=\frac{F}{S}\Longrightarrow \sigma\sim \frac{F}{R^{2}} \tag{3}$$

Относительная деформация - это отношение абсолютного смещения $x$ к характерному линейному размеру тела, вдоль которого происходит деформация. Для шара этим размером является его радиус $R$:

$$\varepsilon=\frac{x}{R} \tag{4}$$

Подставим (3) и (4) в (2):

$$\frac{F}{R^{2}}\sim E\frac{x}{R}\Longrightarrow F\sim ER\cdot x$$

Сравнивая эту формулу с $F=k_{экв}x$, получим:

$$k_{экв}\sim ER$$

Так как сталь не меняется, её модуль упругости $E=const$. Следовательно:

$$k_{экв}\sim R \tag{5}$$

Подставим (1) и (5) в формулу частоты осциллятора:

$$\omega=\sqrt{\frac{k_{экв}}{m_{экв}}}\sim \sqrt{\frac{R}{R^{3}}}=\frac{1}{R}$$

Поскольку $\omega=2\pi f$, то:

$$f\sim \frac{1}{R}$$

Отношение частот для начального и конечного состояния:

$$\frac{f_{2}}{f_{1}}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}\Longrightarrow f_{2}=\frac{1}{2}f_{1}$$

Итак, собственные частоты колебаний уменьшатся в 2 раза.

Ответ

Уменьшатся в два раза.