Колебания и волны > Звук. Акустические резонаторы > Задача 3.9.26

Условие

$3.9.26.$ Определите массу тела, связанного через упругую подставку жесткости $k$ и массы $m$ с жестким полом, если первая резонансная частота продольных колебаний этой системы равна $\omega$.

Решение

Смоделируем нашу упругую подставку как однородный стержень длиной $L$, массой $m$ и жесткостью $k$. В такой моделе продольные колебания сечений стержня $u(x,t)$ описываются волновым уравнением:

$$\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=c^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \tag{1}$$

где $c$ - скорость распространения продольных волн в стержне:

$$c=\sqrt{\frac{E}{\rho}} \tag{2}$$

где $E$ - модуль Юнга стержня, $\rho$ - його плотность. (Формула для скорости выведена в Post Scriptum).

Пусть $S$ - площадь сечения, тогда плотность стержня можна выразить:

$$\rho=\frac{m}{SL} \tag{3}$$

Согласно закону Гука:

$$k\Delta L=\sigma S=E\varepsilon S=ES\frac{\Delta L}{L}$$

где $\sigma$ - напряжение деформации, $\varepsilon$ - относительная деформация. Отсюда:

$$E=\frac{kL}{S} \tag{4}$$

Подставим (3) и (4) в (2):

$$c=\sqrt{\frac{\frac{kL}{S}}{\frac{m}{SL}}}=L\sqrt{\frac{k}{m}} \tag{5}$$

Запишу граничные условия на концах стержня. По условию у нас пол жёсткий, это означает, что смещение равно 0:

$$u(0,t)=0 \tag{6}$$

Согласно второму закону Ньютона для груза $M$ (искомая масса тела), который находится в точке $x=L$:

$$Ma=F_{внеш} \tag{7}$$

Ускорение груза:

$$a=\frac{\partial^{2} u(L,t)}{\partial t^{2}} \tag{8}$$

Сила, с которой стержень действует на груз, направлена противоположно направлению деформации:

$$F_{внеш}=-k\Delta L=-kL\varepsilon=-kL\frac{\partial u(L,t)}{\partial x} \tag{9}$$

Подставим (8) и (9) в (7) и получим второе граничное условие:

$$M\frac{\partial^{2} u(L,t)}{\partial t^{2}}=-kL\frac{\partial u(L,t)}{\partial x} \tag{10}$$

Буду искать решение волнового уравнения в виде гармонических колебаний:

$$u(x,t)=D(x)\cos(\omega t)$$

Подставим в (1):

$$-\omega^{2}D(x)\cos(\omega t)=c^{2}D^{''}(x)\cos(\omega t)$$

Получаем уравнение гармонического осциллятора:

$$D^{''}(x)+\frac{\omega^{2}}{c^{2}}D(x)=0$$

Его решением будет:

$$D(x)=A\sin\left( \frac{\omega x}{c} \right)+B\cos\left( \frac{\omega x}{c} \right)$$

Используем первое граничное условие (6):

$$0=u(0,t)=D(0)=A\sin\left( 0 \right)+B\cos\left( 0 \right)=B$$

Значит:

$$D(x)=A\sin\left( \frac{\omega x}{c} \right)$$

Решение волнового уравнения можно перезаписать:

$$u(x,t)=A\sin\left( \frac{\omega x}{c} \right)\cos(\omega t) \tag{11}$$

Подставим это решение во второе граничное условие (10) и взяв частные производные второго порядка в точке $x=L$, получим:

$$-M\omega^{2}A\sin\left( \frac{\omega L}{c} \right)\cos(\omega t)=-kLA\frac{\omega}{c}\cos\left( \frac{\omega L}{c} \right)\cos(\omega t)$$

Упраздняя, получим:

$$M\omega\sin\left( \frac{\omega L}{c} \right)=\frac{kL}{c}\cos\left( \frac{\omega L}{c} \right)$$

Выражаем массу $M$:

$$M=\frac{kL}{\omega c}\cot\left( \frac{\omega L}{c} \right) \tag{12}$$

Подставим в (12) формулу для скорости распространения волн (5):

$$M=\frac{kL}{\omega L\sqrt{\frac{k}{m}}}\cot\left( \frac{\omega L}{L\sqrt{\frac{k}{m}}} \right)=\frac{\sqrt{mk}}{\omega}\cot\left( \omega\sqrt{\frac{m}{k}} \right)$$

Ответ

$$M=\frac{\sqrt{mk}}{\omega}\cot\left( \omega\sqrt{\frac{m}{k}} \right)$$

Post Scriptum

В задаче $3.6.21. б$ как раз необходимо найти скорость волны через модуль Юнга и плотность. Вот условие задачи:

В движущейся области деформации (бегущей волне), сохраняющей свою форму при перемещении по стержню, кинетическая энергия частиц равна упругой. Определите скорость волны через модуль Юнга $E$ и плотность $\rho$ материала стержня.

Решение

Рассмотрим малый элемент стержня массой $dm=\rho dV$. Если частицы в этой области движутся со скоростью $u=\frac{d \xi}{dt}$, где $\xi$ - смещение, то их кинетическая энергия равна:

$$dK=\frac{1}{2}dm\cdot u^{2}=\frac{1}{2}\rho dV\left( \frac{d\xi}{dt} \right)^{2}$$

Объемная плотность кинетической энергии составит:

$$\omega_{K}=\frac{1}{2}\rho \left( \frac{d\xi}{dt} \right)^{2}$$

Относительная деформация:

$$\varepsilon=\frac{\partial \xi}{\partial x}$$

Тогда плотность потенциальной энергии равна:

$$\omega_{P}=\frac{1}{2}E\varepsilon^{2}=\frac{1}{2}E\left( \frac{\partial \xi}{\partial x} \right)^{2}$$

Для бегущей волны, сохраняющей форму, смещение описывается функцией:

$$\xi(x,t)=f(x-ct)$$

где $c$ - фазовая скорость волны. Отсюда производные:

$$\frac{\partial \xi}{\partial t}=-cf^{'}(x-ct)$$
$$\frac{\partial \xi}{\partial x}=f{'}(x-ct)$$

Подставляя это в условие $\omega_{K}=\omega_{P}$:

$$\frac{1}{2}\rho\left( -cf^{'} \right)^{2}=\frac{1}{2}E\left( f^{'} \right)^{2}$$

Окончательно:

$$\rho c^{2}=E\Longrightarrow c=\sqrt{\frac{E}{\rho}}$$