Механика жидкости > Движение идеальной жидкости > Задача 4.3.14

Условие

$4.3.14.$ Две широкие металлические пластины, расположенные под углом $2\alpha$ друг к другу, движутся со скоростью $\upsilon$ по нормали к своей поверхности. Найдите скорость струй, возникающих при столкновении пластин, рассматривая движение металла как движение идеальной жидкости.

Решение

Обозначим скорость точки пересечения пластин (вершины клина) в лабораторной системе через $V_{к}$. Эта точка движется вдоль оси симметрии системы.

Для каждой пластины нормальная составляющая скорости точки контакта должна совпадать со скоростью пластины $\upsilon$. Из прямоугольного треугольника скоростей имеем:

$$V_{к}=\frac{\upsilon}{\sin\alpha} \tag{1}$$

Перейдём в систему отсчёта, движущуюся вместе с точкой контакта. В этой системе пластины неподвижны, а металл «натекает» на вершину клина. Скорость "натекания" найду из того же треугольника скоростей:

$$u=V_{к}\cos\alpha \tag{2}$$

С учётом (1) имеем:

$$u=\frac{\upsilon}{\sin\alpha}\cdot\cos\alpha=\upsilon\cot\alpha \tag{3}$$

Рассмотрим стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости. Вдали от области взаимодействия давление в струях равно внешнему давлению, так же как и на свободной поверхности потока.

В системе отсчёта точки контакта уравнение Бернулли вдоль линии тока:

$$\frac{u^{2}}{2}+\frac{P}{\rho}=\frac{u^{'2}}{2}+\frac{P}{\rho}$$

где $u^{'}$ - скорость струй относительно точки контакта.

Давление одинаково, тогда:

$$\left| \vec u^{'} \right|=\left| \vec u \right|$$

Модули скоростей струй в данной системе отсчёта сохраняются, изменяется только их направление. В силу симметрии задачи струи направлены вдоль оси симметрии клина. При этом образуются две струи: передняя (по направлению движения точки контакта) и обратная (в противоположную сторону).

В системе контакта их скорости равны $+u$ и $-u$.

Перейдём обратно в лабораторную систему, добавляя скорость переноса $V_{к}$, найдём скорости струй. Для передней струи:

$$\upsilon_{2}=V_{к}+u=\frac{\upsilon}{\sin\alpha}+\upsilon\cot\alpha=\upsilon\cdot\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha} \tag{4}$$

Используя тригонометрические тождества: $1+\cos\alpha=2\cos^{2}\left( \frac{\alpha}{2} \right)$ и $\sin\alpha=2\sin\left( \frac{\alpha}{2} \right)\cos\left( \frac{\alpha}{2} \right)$, получим:

$$\upsilon_{2}=\upsilon\cdot\frac{2\cos^{2}\left( \frac{\alpha}{2} \right)}{2\sin\left( \frac{\alpha}{2} \right)\cos\left( \frac{\alpha}{2} \right)}=\upsilon\cot\left( \frac{\alpha}{2} \right) \tag{5}$$

Для обратной струи:

$$\upsilon_{1}=V_{к}-u=\frac{\upsilon}{\sin\alpha}-\upsilon\cot\alpha=\upsilon\cdot\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} \tag{6}$$

Используя тригонометрическое тождество $1-\cos\alpha=2\sin^{2}\left( \frac{\alpha}{2} \right)$, получим:

$$\upsilon_{1}=\upsilon\cdot\frac{2\sin^{2}\left( \frac{\alpha}{2} \right)}{2\sin\left( \frac{\alpha}{2} \right)\cos\left( \frac{\alpha}{2} \right)}=\upsilon\tan\left( \frac{\alpha}{2} \right) \tag{7}$$

Ответ

$$\upsilon_{1}=\upsilon\tan\left( \frac{\alpha}{2} \right)$$
$$\upsilon_{2}=\upsilon\cot\left( \frac{\alpha}{2} \right)$$