Молекулярная физика > Истечение газа > Задача 5.7.9

Условие

$5.7.9.$ Газ при давлении $P$ и температуре $T$ протекает со скоростью $\upsilon$ через гладкую трубку сечения $S$. Когда газ проходит сквозь проволочную сетку, перекрывающую трубку и оказывающую пренебрежимо малое сопротивление потоку,он нагревается. Приобретаемая газом мощность равна $q$. Определите скорость газа за проволочной сеткой. Чему равна сила давления газа на сетку? Молярная масса газа $\mu$, показатель адиабаты $\gamma$.

Решение

Итак, уже очень долго только на эту задачу раздела нет решения, пора бы его предоставить.

Поток газа внутри трубы, можно описать уравнением Бернулли для потока жидкости, если представить газ как идеальную сжимаемую жидкость. Идеальную в том смысле, что в ней никогда не возникают тангенциальные силы внутреннего трения и взаимодействие между ними осуществляется исключительно с помощью нормальных сил давления.

Так же, если скорость потока жидкости не сильно изменяется в пространстве и во времени, то жидкость можно разбить мысленно разбить на достаточно малые микроскопические части, каждая из которых движется с определенной макроскопической скоростью $\upsilon$ и равновесное состояние которой может быть охарактеризовано теми же параметрами что и термодинамическое равновесие - температурой, давлением и плотностью.

Уравнение Бернулли утверждает, что при стационарном ламинарном течении идеальной жидкости величина $\epsilon + \frac{P}{\rho}$ остается постоянной вдоль линии тока. Где $\epsilon$ есть полная энергия единицы массы. Она слагается из $3$ частей: кинетическая энергия $\frac{\upsilon^2}{2}$, потенциальной энергии $\varphi$ во внешнем силовом поле и внутренней энергии $u$. Если внешним полем является поле тяжести, то $\varphi = gh$. В этом случае уравнение принимает вид:

$$u + \frac{P}{\rho}+gh+\frac{\upsilon^2}{2}=const$$

Величину $u+\frac{P}{\rho}$ называют удельной энтальпией, то есть энтальпией единицы массы жидкости, обозначим ее $H$:

$$H + gh +\frac{\upsilon^2}{2}=const$$

Если течение происходит в горизонтальном направлении, то величина $gh$ остается постоянной. В этих случаях:

$$H+\frac{\upsilon^2}{2}=const$$

На этой прекрасной ноте можем перейти к решению, уже достаточно длинному, как любят некоторые личности)

Начнем мы с условия постоянства массы выделенной порции прошедшей через сетку:

$$\rho \upsilon S = \rho' \upsilon ' S$$
$$\rho ' = \rho \frac{\upsilon}{\upsilon'}$$

А так же воспользуемся тем, что сопротивление от сетки пренебрежимо мало, а значит импульс выделенной порции, прошедшей за время $\Delta t$ сохраняется:

$$PS\Delta t + \rho S \upsilon^2 \Delta t = P'S\Delta t + \rho' S {\upsilon'}^2\Delta t$$

$$P' = P + \rho \upsilon^2 - \rho \upsilon \upsilon '$$

Теперь выведем уравнение удельной энтальпии идеального газа, НО, для начала все же напомним связь между количеством степеней свободы и показателем адиабаты:

$$i = \frac{2}{\gamma - 1}$$

Удельная внутренняя энергия равна:

$$u = \frac{PV}{(\gamma-1)m}=\frac{P}{(\gamma-1) \rho}$$

А удельная энтальпия:

$$H = u + \frac{P}{\rho} = \frac{\gamma P}{(\gamma -1)\rho}$$

Запишем уравнение Бернулли, только учтем что к удельной энтальпии и кинетической энергии добавится еще и удельная теплота от сетки:

$$\frac{q}{\rho \upsilon S} +\frac{\gamma P}{(\gamma -1) \rho} + \frac{\upsilon^2}{2} = \frac{\gamma \upsilon'}{(\gamma -1)\rho \upsilon}(P+\rho \upsilon^2 - \rho \upsilon \upsilon') + \frac{{\upsilon'}^2}{2}$$

В итоге получим квадратное уравнение:

$$-\rho \upsilon (\gamma+1){\upsilon'}^2 + 2(P+\rho \upsilon^2)\gamma \upsilon' -(2\gamma P \upsilon + \rho \upsilon^3(\gamma - 1)+\frac{2q(\gamma-1)}{S})=0$$

С разрешения читателя не будем приводить все выкладки и преобразования итогового ответа, стоит лишь отметить, что в Савченко, скорее всего, допущена опечатка и итоговый ответ выглядит так(физический смысл имеет только корень с минусом):

$$\boxed{\upsilon' = \frac{\upsilon}{\gamma + 1} \left[ \gamma \left( \frac{P}{\rho \upsilon^2} + 1 \right) + \sqrt{\left(1 - \frac{P\gamma}{\rho \upsilon^2}\right)^2 - \frac{2q(\gamma^2-1)}{\rho \upsilon^3 S}} \right]}
$$

Где $\rho = \frac{P\mu}{RT}$ - плотность газа за перегородкой.

Сила находится просто как изменение импульса массы проходящей за единицу времени:
$$\boxed{F = \rho \upsilon S (\upsilon' - \upsilon)}$$

Ответ

$$\boxed{\upsilon' = \frac{\upsilon}{\gamma + 1} \left[ \gamma \left( \frac{P}{\rho \upsilon^2} + 1 \right) + \sqrt{\left(1 - \frac{P\gamma}{\rho \upsilon^2}\right)^2 - \frac{2q(\gamma^2-1)}{\rho \upsilon^3 S}} \right]}
$$

Где $\rho = \frac{P\mu}{RT}$ - плотность газа за перегородкой.

$$\boxed{F = \rho \upsilon S (\upsilon' - \upsilon)}$$