Молекулярная физика > Вероятность термодинамического состояния > Задача 5.8.10

Условие

$5.8.10.$ Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы при комнатной температуре увеличить концентрацию золота в 1 кг породы от $10^{-6}$ до $10^{-2}$ ?

Решение

$\textbf{Эпиграф:}$ Не всё то золото, что блестит.

Чтобы найти минимальную работу концентрирования, рассмотрим обратный самопроизвольный процесс: пусть условный «газ» из частиц золота изотермически расширяется (рассеивается в объеме породы) от концентрированного состояния $c_{2}=10^{-2}$ до рассеянного состояния $c_{1}=10^{-6}$. При таком расширении частицы совершают работу $A$. Чтобы температура системы оставалась постоянной, мы должны сообщить системе количество теплоты, в точности равное этой работе (согласно первому закону термодинамики): $Q=A$.

Формула работы изотермического расширения для $\nu$ количества породы:

$$A=\nu RT\ln\left( \frac{V_{к}}{V_{н}} \right)$$

Так как концентрации обратно пропорциональны объёму, то можна переписать:

$$A=\nu RT\ln\left( \frac{c_{2}}{c_{1}} \right)=\frac{m}{\mu}RT\ln\left( \frac{c_{2}}{c_{1}} \right)$$

Итак, количество теплоты, которую необходимо сообщить:

$$Q=\frac{m}{\mu}RT\ln\left( \frac{c_{2}}{c_{1}} \right)$$

Так как в обратном процессе (при рассеивании) выделяется энергия в виде работы, то для осуществления прямого процесса (для принудительного концентрирования золота из состояния 1 в состояние 2) над системой необходимо совершить точно такую же внешнюю минимальную работу:

$$A_{min}=Q=\frac{m}{\mu}RT\ln\left( \frac{c_{2}}{c_{1}} \right)$$

Для численного расчёта за комнатную температура я принял $T=25^{\circ }C=298^{\circ }K$ (сейчас жарко). С определением породы у меня возникли трудности. После серий проб и ошибок, я пришёл к выводу, что речь идёт о пирите - золоте дураков. Его химическая формула $\ce{FeS2}$:

Молярная масса пирита $\mu=55,8+2\cdot 32,1=120\text{ г/моль}$.

Подставляя численные данные, получим:

$$A_{min}\approx 200 \text{ кДж}$$

Ответ

$A=200\text{ кДж}$